连续函数空间本性有界空间为什么不稠密

连续函数空间本性有界空间为什么不稠密

先说问题二，即“当1<=q<=p<=无穷时，Lp包含于Lq”
首先条件成立的前提是m(E)<∞（m是一般测度空间的测度，不一定局限于L测度，只是方便打字。E为可测集）。m(E)=∞时的反例下面再给出

证明：只讨论p≠q的就行了。对任意f∈Lp，
(i)当p=∞时，对任何f∈Lp，f可测且有界a.e.，所以对任何有限，|f|^q也可测且有界a.e.。因为m(E)<∞，所以|f|^q可积，即 f∈Lq。
(ii)当p<∞时，
∫E(|f|^q)dm = ∫E(|f|>1)(|f|^q)dm + ∫E(|f|<=1)(|f|^q)dm
< ∫E(f>1)(|f|^p)dm + m(E(|f|<=1))
因为f∈Lp,m(E)<∞。所以第一项与第二项都有限，即f∈Lq。over！！

m(E)=∞的反例：对于p=∞,任意常值函数均可.p=<∞,考察f(x)=x^(-1/2),E取[1，+∞），那么f∈L4，但f不∈L2。

第一个问题：证明对任意f∈L∞，当p→∞ ，||f||p→||f||∞。
根据上面，只有当m(E)<∞,才能保证对任何f∈L∞，对任何p，f∈Lp,所以一定意义上这个问题也应该加上m(E)<∞的条件，实际上我看过的资料都是加了这个条件的。对于m(E)=∞的情况在最后会说下我简单的看法

证明：附加前提m(E)<∞。设||f||∞=M。m(E)=0或M=0的情况显然成立，以下不考虑。
(i)根据本性上确界的可达性，即存在E中的零集E'使得M=sup|f|(在E-E'中)。所以
∫E(|f|^p)dm = ∫E-E'(|f|^p)dm <= ∫E-E'(M^p)dm = M^p*m(E)

所以 ||f||p <=M*m(E)^1/p,因为m(E)>0,所以当p→∞，m(E)^1/p→1，
即 p→∞，lim(||f||p)<=M（这里取数列的上极限，因为还没证明极限存在）

(ii)对任意的ε>0，E（f>M-ε)为正测集（否则与||f||∞=M矛盾），所以

∫E(|f|^p)dm >=∫E(f>M-ε)(|f|^p)dm >=(M-ε)^p*m(E(f>M-ε))
与(i)的证明类似，可得p→∞，lim(||f||p)>=M-ε(取下极限）

综合(i)和(ii)即得：p→∞，lim(||f||p)=||f||∞。（这回是正常的极限了） over!!

对于m(E)=∞的情况：
假设f满足：f∈L1，||f||∞=1，|f|<1 a.e.
(例如f=1/x^2，E=[1,+∞））
那么显然对任何p，|f|^p<=|f|,所以f∈Lp,并且|f|^p→0 a.e.根据控制收敛定理，X=∫E(|f|^p)dm→0。而||f||p=X^1/p。就是说p→∞时，||f||p仅与X的收敛速度有关。满足条件的f应该有很多并且使X有不同的收敛速度。也许例子f=1/x^2的范数收敛到1，但应该还有别的函数不收敛到1。
以上仅是我简单的看法，可能根本不对。不过一般的泛函书上都只考虑m(E)<∞的情况

额

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