设m≠n,证明m^4-m^3n>n^3m-n^4
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解决时间 2021-01-22 09:22
- 提问者网友：辞取
- 2021-01-21 16:36
设m≠n,证明m^4-m^3n>n^3m-n^4
最佳答案
- 五星知识达人网友：迟山
- 2021-01-21 17:21
m^4-m^3n-n^3m+n^4
=m^3(m-n)-n^3(m-n)
=(m-n)(m^3-n^3)
=(m-n)(m-n)(m^2+mn+n^2)
=(m-n)^2(m^2+mn+n^2)
因为 m≠n
所以 (m-n)^2>0
因为 m^2+n^2>2|mn|
所以 m^2+n^2>-mn
即 m^2+mn+n^2>0
所以上式>0
即 m^4-m^3n>n^3m-n^4
=m^3(m-n)-n^3(m-n)
=(m-n)(m^3-n^3)
=(m-n)(m-n)(m^2+mn+n^2)
=(m-n)^2(m^2+mn+n^2)
因为 m≠n
所以 (m-n)^2>0
因为 m^2+n^2>2|mn|
所以 m^2+n^2>-mn
即 m^2+mn+n^2>0
所以上式>0
即 m^4-m^3n>n^3m-n^4
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