解答题设n∈N*，0＜x＜1，f（n）=1-（1-xn）2，g（n）=[1-（1-x）

解答题 设n∈N*，0＜x＜1，f（n）=1-（1-xn）2，g（n）=[1-（1-x）2]n，试比较f（n）与g（n）的大小，并证明你的结论．

证明：f（n）=（2-xn）xn，g（x）=xn（2-x）n（2分）
比较f（n）与g（n）的大小，即比较2-xn与（2-x）n的大小．?????????（3分）
猜想：（2-x）n≥2-xn（当且仅当n=1时，等号成立）???????????（5分）
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当n=1时，显然（2-x）1≥2-x，成立，n=2时，左边=（2-x）2=4-4x+x2，右边=2-x2，
因为4-4x+x2-2+x2=2（1-2x+x2）=2（1-x）2＞0，成立．???????????????????（7分）
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，猜想成立，即（2-x）k＞2-xk（8分）
当n=k+1时，（2-x）k+1=（2-x）（2-x）k＞（2-x）（2-xk）（注：0＜x＜1）
要证猜想成立，只需证明（2-x）（2-xk）＞2-xk+1（11分）
即证xk+1-xk-x+1＞0亦即（x-1）（xk-1）＞0
由0＜x＜1易得上式成立，即n=k+1时，猜想成立．??????????（13分）
综上（1）（2）可知，猜想成立．????????????????????????????（14分）
（另证：令x=1-t，要证（2-x）n＞2-xn，即证（1-t）n+（1+t）n＞2，由二项式定理展开，易得证．酌情给分）解析分析：化简f（n）与g（n）的表达式，猜想（2-x）n≥2-xn（当且仅当n=1时，等号成立），下面用数学归纳法加以证明：验证当n=1，2时，猜想成立，假设当n=k（k≥2，k∈N）时，猜想成立，即（2-x）k＞2-xk，证明当n=k+1时，猜想成立．点评：本题考查数学归纳法的证明步骤的应用，考查数列与函数的关系，考查逻辑推理能力，计算能力．

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