证明设A为s×m矩阵，B为m×n矩阵，X为n维未知列向量，证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是
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解决时间 2021-02-26 19:30
- 提问者网友：你给我的爱
- 2021-02-26 05:38
证明设A为s×m矩阵，B为m×n矩阵，X为n维未知列向量，证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是
最佳答案
- 五星知识达人网友：动情书生
- 2021-02-26 06:58
证明: 必要性
因为ABX=0与BX=0同解
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
所以 n-r(AB)=n-r(B)
即有 r(AB)=r(B).
充分性.
易知 BX=0 的解都是 ABX=0 的解
而BX=0的基础解系含n-r(B)个解向量
ABX=0的基础解系含n-r(AB)=n-r(B)个解向量
所以BX=0的基础解系是ABX=0的基础解系
所以ABX=0与BX=0同解.
因为ABX=0与BX=0同解
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
所以 n-r(AB)=n-r(B)
即有 r(AB)=r(B).
充分性.
易知 BX=0 的解都是 ABX=0 的解
而BX=0的基础解系含n-r(B)个解向量
ABX=0的基础解系含n-r(AB)=n-r(B)个解向量
所以BX=0的基础解系是ABX=0的基础解系
所以ABX=0与BX=0同解.
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