已知函数f(x)＝ax+lnx，g（x）=12bx2?2x+2，a，b∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数h（x）=f

已知函数f(x)＝ax+lnx，g（x）=12bx2?2x+2，a，b∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0时，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围；（3）记函数F（x）=|f（x）|，证明：存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．

（1）因为f'（x）=-
a
x2 +
1
x =
x?a
x2 ，
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（2分）
②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，
当0＜x＜a时，f'（x）＜0；当x＞a时，f'（x）＞0．
所以（0，a）为单调减区间，（a，+∞）为单调增区间．
综上可得，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调增区间为（a，+∞）． …（4分）
（2）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=
1
2 bx2?2x+2+lnx，
∴h'（x）=bx-2+
1
x =
bx2?2x+1
x ，…（5分）
h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根，
由h'（x）=0得bx2-2x+1=0，…（6分）
（ i）b=0，x=
1
2 ，满足题意；…（7分）
（ ii）b＞0时，b?12-2?1+1＜0，即0＜b＜1；…（8分）
（ iii）b＜0时，b?12-2?1+1＜0，得b＜1，故b＜0；
综上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1． …（9分）
（3）证明：由（1）可知：
（ i）若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，
所以直线l与y=F（x）的图象不可能有两个切点，不合题意．…（10分）
（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a处取得极值f（a）=1+lna．
若1+lna≥0，a≥
1
e 时，由图象知不可能有两个切点．…（11分）
故0＜a＜
1
e ，设f（x）图象与x轴的两个交点的横坐标为s，t（不妨设s＜t），
则直线l与y=F（x）的图象有两个切点即为直线l与y1＝?
a
x ?lnx，x∈(s，t)
和y2＝
a
x +lnx，x∈(t，+∞)的切点．
y1'=
a
x2 -
1
x =
a?x
x2 ，y2'=-
a
x2 +
1
x =
x?a
x2 ，
设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜x2，且

a?x1
x12 =
y1
x1 =-
a
x12 -
lnx1
x1 ，
a?x2
x22 =
y2
x2 =
a
x22 +
lnx2
x2 ，
a?x1
x12 =
x2?a
x22 ，
即
2a
x1 =1-lnx1…①；
2a
x2 =1-lnx2…②；a=
x1x2(x1 +x2 )
x12+x22 ，③
①-②得：
2a
x1 -
2a
x2 =-lnx1+lnx2=-ln
x1
x2 ，
由③中的a代入上式可得：（
2
x1 -
2
x2 ）?
x1x2(x1 +x2 )
x12+x22 ＝?ln
x1
x2 ，
即
2(x12?x22)
x12+x22 ＝ln
x1
x2 ，…（14分）
令
x1
x2 =k（0＜k＜1），则（k2+1）lnk=2k2-2，令G（k）=（k2+1）lnk-2k2

虽然我很聪明，但这么说真的难到我了

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