平面几何 平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条.求证：10线交于一点..

平面几何
平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条.求证：10线交于一点.
.....解析几何的证明我自己用2节课算出来了....但是实际竞赛的时候这一个题目不可能让我花费80分钟去解的0.0所以我现在想找一个纯几何的做法.....因为这个题一直就没想出来怎么用纯几何做

设5个点对应的向量分别是z1,z2,z3,z4,z5,且它们的模相等.
因为|z1|=|z2|,所以0,z1,z2,z1+z2这四个点构成一个菱形,所以它们的对角线垂直,所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2.
这样经过三角形z3,z4,z5的重心,且垂直于z1,z2连线的直线方程就是
z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2),其中t是任意实数.
取 t=1/3,就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上.同理可得这点在所有这类直线上.
再问： 是利用向量吗...不失为一个很好的解释..大致看懂了,相比我自己用单位圆参数方程的解法还是简便很多...如果问题结束之前还没有一个纯几何解释的话就选你啦~谢谢咯~

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