若三角形ABC三边分别是abc，面积是S求证a2+b2+c2>=4根号3 S

若三角形ABC三边分别是abc，面积是S求证a2+b2+c2>=4根号3 S

三角形面积S=(1/2)bc*sinA,
根据余弦定理有：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
将所证不等式右侧移到左边，得：
F=a^2+b^2+c^2-4√3*S=b^2+c^2-2bc*cosA+b^2+c^2-4√3(bc*sinA/2)
=2(b^2+c^2)-2bc(√3sinA+cosA)=2(b^2+c^2)-4bc((√3/2)sinA+(1/2)cosA)
因为√3/2=cos(π/6),1/2=sin(π/6),所以有：
F=2(b^2+c^2)-4bc*sin(A+π/6)
因为(b-c)^2=b^2+c^2-2bc≥0,又 1≥sin(A+π/6)≥-1,
故b^2+c^2≥2bc≥2bc*sin(A+π/6),b^2+c^2-2bc*sin(A+π/6)≥0
即：2(b^2+c^2)-4bc*sin(A+π/6)≥0成立
所以 a^2+b^2+c^2-4√3*S≥0成立,不等式得证

由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosa 由面积公式：s=(1/2)bcsina 作差法： a^2+b^2+c^2-4√3s =b^2+c^2-2bccosa+b^2+c^2-4√3*(1/2)bcsina =2b^2+2c^2-2bccosa-2√3bcsina =2b^2+2c^2-4bc[(1/2)cosa+(√3/2)sina] =2b^2+2c^2-4bc+4bc-4bccos(60-a) =2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-a)] -120 < 60-a < 60 -1/2 < cos(60-a) ≤ 1 0 ≤ 1-cos(60-a) < 3/2 所以 a^2+b^2+c^2-4√3s = 2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-a)] ≥0 当b=c且a=60时，即等边三角形时，等号成立

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