已知经过椭圆x²/25 y²/169=1的焦点F1作垂直于y轴的直线pQ交椭圆o1Q
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解决时间 2021-11-15 03:54
- 提问者网友：鼻尖触碰
- 2021-11-15 00:45
已知经过椭圆x²/25 y²/169=1的焦点F1作垂直于y轴的直线pQ交椭圆o1Q
最佳答案
- 五星知识达人网友：归鹤鸣
- 2021-11-15 01:38
由给定的椭圆方程x^2/a^2＋y^2/b^2＝1，得：c＝√（a^2－b^2），
∴点F1的坐标是（－√（a^2－b^2），0），∴PF1的方程是x＝－√（a^2－b^2）。
令x^2/a^2＋y^2/b^2＝1中的x＝－√（a^2－b^2），∴（a^2－b^2）/a^2＋y^2/b^2＝1，
∴y^2/b^2＝b^2/a^2，∴y^2＝b^4/a^2，∴｜PF1｜＝b^2/a。
显然有：｜F1F2｜＝2c＝2√（a^2－b^2）。
∵∠F1PF2＝60°，∴｜F1F2｜＝√3｜PF1｜，∴2√（a^2－b^2）＝√3b^2/a，
∴4a^2－4b^2＝3b^4/a^2，∴4a^4－4（ab）^2＝3b^4，∴（b/a）^4＋（b/a）^2＝3/4，
∴［（b/a）^2＋1/2］^2＝1，∴（b/a）^2＋1/2＝1，∴（b/a）^2＝1/2。
∴e＝c/a＝√［（a^2－b^2）/a^2］＝√［1－（b/a）^2］＝√（1－1/2）＝√2/2。
∴点F1的坐标是（－√（a^2－b^2），0），∴PF1的方程是x＝－√（a^2－b^2）。
令x^2/a^2＋y^2/b^2＝1中的x＝－√（a^2－b^2），∴（a^2－b^2）/a^2＋y^2/b^2＝1，
∴y^2/b^2＝b^2/a^2，∴y^2＝b^4/a^2，∴｜PF1｜＝b^2/a。
显然有：｜F1F2｜＝2c＝2√（a^2－b^2）。
∵∠F1PF2＝60°，∴｜F1F2｜＝√3｜PF1｜，∴2√（a^2－b^2）＝√3b^2/a，
∴4a^2－4b^2＝3b^4/a^2，∴4a^4－4（ab）^2＝3b^4，∴（b/a）^4＋（b/a）^2＝3/4，
∴［（b/a）^2＋1/2］^2＝1，∴（b/a）^2＋1/2＝1，∴（b/a）^2＝1/2。
∴e＝c/a＝√［（a^2－b^2）/a^2］＝√［1－（b/a）^2］＝√（1－1/2）＝√2/2。
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