一道关于正五边形的题目

分别以居中的那条线段为边向外作正五边形，并去除居中的那条线段，把正五边形的各边三等分现有一个正五边形，得到的图的边数是多少

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打这么多字真累啊，嗯，再有不明白的地方百度hi我。 ================================================ 设圆o的半径为r。 那么op=r/2 rt△omp有勾股定理：mp=√(om²+op²)=√[r²+(r/2)²]=[(√5)/2]r 又因为pq=pm=[(√5)/2]r 所以oq=pq-po=[(√5)/2]r-r/2=[(√5-1)/2]r rt△omq有勾股定理：mq=√(om²+oq²)=√[r²+oq²]=(1/2)*√(10-2√5)*r 又因为ma=mq 所以ma=(1/2)*√(10-2√5)*r 以上步骤是按照题设的尺规作图方法计算的。 如果要证明此方法画出的图形是正五边形，那么需要证明ma这段线段对应的圆心角∠moa=72° 能证明命题就成立，不能证明命题就不成立。 现在过o点作ma的垂线ob，易知：bm=(1/2)ma=(1/4)*√(10-2√5)*r 所以sin∠mob=bm/om=bm/r=(1/4)*√(10-2√5)…………【1】 因为有：sin54°=cos36° 所以：sin(3*18)°=cos(2*18)° 又因为： sin(3*18)°=-4(sin18°)³+3sin18°【三倍角公式】 cos(2*18)°=1-2(sin18°)²【二倍角公式】 所以-4(sin18°)³+3sin18°=1-2(sin18°)² 整理得： 4(sin18°)³-2(sin18°)²-3sin18°+1=0 因式分解后得： (sin18°-1)[4(sin18°)²+2sin18°-1]=0 共有三个解： sin18°=1【舍去】 sin18°=(-1+√5)/4 sin18°=(-1-√5)/4【舍去】 因此sin18°=(-1+√5)/4 所以由二倍角公式： sin36°=2sin18°cos18°=[√(10-2√5)]/4…………【2】 根据【1】和【2】发现： sin36°=sin∠mob 即∠mob=36° 所以∠moa=72°得证。 所以原命题得证。

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