若5A+4E不可逆,则A有特征值（线性代数）
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解决时间 2021-01-28 23:52
- 提问者网友：十年饮冰
- 2021-01-28 11:47
若5A+4E不可逆,则A有特征值（线性代数）
最佳答案
- 五星知识达人网友：一把行者刀
- 2021-01-28 12:58
矩阵不可逆即没有逆矩阵， 则行列式为 0， 即有 0 特征值。
若 5A+4E 不可逆， 5A+4E 必有特征值 0，
5A 必有特征值 -4，A 必有特征值 -4/5。
若 A 为 2 阶方阵，4A+3E不可逆，则 A 必有特征值 -3/4;
3A-2E 不可逆，则 A 必有特征值 2/3.
则 2 阶方阵 A 的两个特征值是 -3/4，2/3，不相等.
故存在可逆矩阵P， 使得 P^(-1)AP=diag(-3/4, 2/3），
A = Pdiag(-3/4, 2/3)P^(-1)
则 2A-E = 2Pdiag(-3/4, 2/3)P^(-1) -PP^(-1)
= P[2diag(-3/4, 2/3)-E]P^(-1)
|2A-E| = | P[2diag(-3/4, 2/3) -E]P^(-1) |
= |P| | [2diag(-3/4, 2/3) -E] | |P^(-1)|
= | [2diag(-3/4, 2/3) -E] |
= [2(-3/4)-1][2(2/3)-1] = (-5/2)(1/3) = -5/6
若 5A+4E 不可逆， 5A+4E 必有特征值 0，
5A 必有特征值 -4，A 必有特征值 -4/5。
若 A 为 2 阶方阵，4A+3E不可逆，则 A 必有特征值 -3/4;
3A-2E 不可逆，则 A 必有特征值 2/3.
则 2 阶方阵 A 的两个特征值是 -3/4，2/3，不相等.
故存在可逆矩阵P， 使得 P^(-1)AP=diag(-3/4, 2/3），
A = Pdiag(-3/4, 2/3)P^(-1)
则 2A-E = 2Pdiag(-3/4, 2/3)P^(-1) -PP^(-1)
= P[2diag(-3/4, 2/3)-E]P^(-1)
|2A-E| = | P[2diag(-3/4, 2/3) -E]P^(-1) |
= |P| | [2diag(-3/4, 2/3) -E] | |P^(-1)|
= | [2diag(-3/4, 2/3) -E] |
= [2(-3/4)-1][2(2/3)-1] = (-5/2)(1/3) = -5/6
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