为什么特征值是“沿对应的特征向量的数据的方差”？

为什么特征值是“沿对应的特征向量的数据的方差”？在一篇论文上看到的，觉得很诡异啊，为什么呢？

首先，既然提到数据，我假设你是在做数据分析，特别是使用主成分法等因子分析方法时遇到这类问题，这也是这类问题最常见的出处。

那么统计模型是这样的，我有一列随机变量（X1,...,Xn）（一般写为列向量，这里写不出来，下均为列向量），对它们有很多观察值。现在我用正交标准形的办法来分解这一批随机变量，具体来讲，这列随机变量有协方差阵C=Cov(X1,...Xn)={Cov(Xi,Xj)}i x j,对此方阵，我们可以把它化为其正交标准型C = T * L * T' ,其中T是正交阵，即其转置T’也是它的逆,即: T * T' = T' * T = I（单位阵）。
具体如何分解涉及到线性代数的知识，这里只要知道任何对称矩阵C都可以分解成这种形式，中间的矩阵L被称为C的正交标准型，它有如下性质：
1， L是对角阵 2， L的对角线上的元素正好是矩阵C的各个特征值。
3， 这个特征值对应的特征向量，就是T’中的对应行/或等价的，T中的对应列。也就是说，如果用这一行（向量）乘以C，那么得到的结果是一个方向不变，长度乘以特征值后的向量。
以上是关于矩阵正交分解的知识，如果很熟悉，那下面就很自然：
数据分析中，对原数据（随机向量X）做变换 F = T' * X，那么F对应的协方差阵是 COV(F) = COV(T' * X) = T' * C * T = L。在因子分析中，我们把变换后的这一列新数据称为（相应特征向量对应的）因子，或者说特征向量方向的数据。比如说F的第一行，实际是T'的第一行（第一个特征向量）和列向量X的乘积，被称为第一个特征向量对应的数据。
我们为什么要做这一变换？因为变换后的数据的协方差阵是对角阵（L），即各因子间是正交的，也就是说没有因子间的互相影响，我们分析起来就简单很多。当然，很自然地，对角阵L对角线上的元素（特征值）就是对应因子的方差。
实际应用时，一开始的协方差矩阵C是由数据得出的样本协方差矩阵。后面的过程就水到渠成了。

我。。知。。道 加。。我。。私。。聊

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