等腰三角形题目

如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是斜边AB上任意一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，求证：BD=CG。

在Rt△CDH和Rt△BDF中，

∠HDC＝FDB（对顶角），∠DHC＝∠F＝90度，所以∠GCE＝∠FBD

在Rt△ACE和Rt△CBF中，

AC＝CB，∠AEC＝∠CFB，

∠ACG＝∠CBD＝45°，∠GCE＝∠FBD，故∠ACG+∠GCE＝∠CBD+∠FBD，即∠ACE＝∠CBF

所以Rt△ACE≌Rt△CBF。所以CE＝BF

在Rt△CEG和Rt△DBF中，

∠CEG＝∠DFB，CE＝BF，，∠GCE＝∠FBD

所以Rt△CEG≌Rt△DBF

推出BD=CG

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