求下列微分方程满足所给初始条件的特解 y''=2yy',x=0 y=1,x=0 y'=2

求下列微分方程满足所给初始条件的特解 y''=2yy',x=0 y=1,x=0 y'=2

令y'=p，则y''=dy'/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
所以pdp/dy=2yp
dp=2ydy
p=y'=y^2+C1
令x=0：2=1+C1
C1=1
所以y'=y^2+1
dy/(y^2+1)=dx
arctany=x+C2
令x=0：π/4=C2
所以arctany=x+π/4
y=tan(x+π/4)

令p=y'，则 y''=dp/dx =dp/dy·dy/dx =pdp/dy ∴2yp·dp/dy=1+p² ∴2p·dp/(1+p²)=dy/y 两边同时积分得到， ln(1+p²)=lny+lnc ∴1+p²=cy ∴p=±√(cy-1) ∴dy/dx=±√(cy-1) ∴dy/√(cy-1)=±dx ∴2/c·√(cy-1)=±(x+c2) ∴(x+c2)²=4/c·(y-1/c) ∴通解为 (x+c2)²=4c1·(y-c1) 【其中c1=1/c】

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