正20面体。求它有多少顶点和棱数

正20面体。求它有多少顶点和棱数

仅有的五种正多面体，即是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
所谓正多面体，当然要首先保证它是一个多面体，而它的特殊之处就在于它的每一个面都是正多边形，而且各个面的正多边形都是全等的。也就是说，将正多面体的各个面剪下来，它们可以完全重合。虽然多面体的家族很庞大．可是正多面体的成员却很少，仅有五个。
这几个正多面体分别是由什么组成的呢?
正四面体是由四个全等的等边三角形组成的；正六面体是由六个全等的正方形组成的；正八面体是由八个全等的等边三角形组成的；正十二面体是由十二个全等的正五边形组成的；正二十面体是由二十个全等的等边三角形组成的。[1]
正多面体的各种参数如下表所示。

类型

面数

棱数

顶点数

每面边数

每顶点棱数

正4面体

4

6

4

3

3

正6面体

6

12

8

4

3

正8面体

8

12

6

3

4

正12面体

12

30

20

5

3

正20面体

20

30

12

3

5

正多面体种类
编辑
只有五种多面体是正多面体。
证明如下：设正多面体每个顶点有m条棱，每个面都是正n变形，多面体的定点数是V，面数是F，棱数是E。因为两个相邻面有一公共棱，所以

因为两个相邻顶点有一公共棱，所以

又因多面体的Euler定理，得V+F-E=2，从上面三式可得

要使得上面的式子成立，必须满足2m+2n-mn>0，即1/m+1/n>1/2。因为m≥3，所以

于是n<6。
当n=3时，m<6，所以m能取的值是3、4、5；
当n=4时，m<4，所以m能取的值是3；
当n=5时，m<10/3，所以m能取的值是3。
当n=3，m=3时，V=4，F=4，E=6；当n=3，m=4时，V=6，F=8，E=12；当n=3，m=5时，V=12，F=20，E=30；当n=4，m=3时，V=8，F=6，E=12；当n=5，m=3时，V=20，F=12，E=30；所以正多面体只有上述五种。

对于多面体：面数+顶点数=棱数+2(称为欧拉定律)
二十面体
面：20个正三角形 组成
顶点：12个
棱：30条

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