求解高数极限：xn=1/1*2+1/2*3+...+1/n（1+n）求极限？

求解高数极限：xn=1/1*2+1/2*3+...+1/n（1+n）求极限？

因为假设l就是极限，所以对于Xn+1=2+1/Xn那么两边同时取极限就是l=2+1/l所以|Xn-l|=|2+1/Xn-1-2-1/l|=|l-Xn-1|/l*Xn-1因为Xn-1是一定大于2的，所以抹掉Xn-1会变大<=|l-Xn-1|/l

等于1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(1+n)=1-1/(n+1)=1

令f(x)=2+1/x, 显然f(x)单调减少。 x1=2=20/10 x2=2+1/2=5/2=25/10 x3=2+1/5/2=2+2/5=24/10 …… 递推下去有 x1&lt;x3&lt;x5&lt;……&lt;x2n-1&lt;……&lt;x2n&lt;……&lt;x4&lt;x2 即奇数列增加，偶数列减少。奇数列的上限为x2=5/2，偶数列的下限x1=2，两者都收敛。 下边可以分别令奇偶列的极限为p、q，limx2n-1=p,limx2n=q。（n-&gt;∞） 令g(x)=f(f(xn))，g(xn)必定单调增加，则xn+2=f(xn+1)=f(f(xn))=g(xn)，由g(xn) 的连续性可以知道 limxn+2=limg(xn)=g(limxn)，在n分别为奇数或偶数时， p=g(p)=f(f(p))=(5p+2)/(2p+1)，q=g(q)=f(f(q))=(5q+2)/(2q+1)， 据方程x=(5x+2)/(2x+1)，即x^2-2x-1=0只有正解，x=1+√2=2.414。所以p=q=2.414，也就是奇数列和偶数列的极限都是2.414，故此整个数列{xn}收敛。收敛于2.414。 同样的我们可以得到这样两个关于极限的结论 1、当x3落在以x1、x2构成的区间之外时，数列{xn}发散。 2、当x3落在以x1、x2构成的区间之内时，数列{x2n-1}和{x2n}均收敛，当两者收敛值相同时，数列{xn}收敛。

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