存在非零向量α，使得Amα≠0，Am+1α=0，证明：（1）α，Aα，A2α，…，Amα线性无关；（2）秩（An）=

存在非零向量α，使得Amα≠0，Am+1α=0，证明：（1）α，Aα，A2α，…，Amα线性无关；（2）秩（An）=

解答：证明：（1）设k1α+k2Aα+k3A2α+…+kmAmα＝0…（*）
则两边左乘A，得
k1Aα+k2A2α+…+km?1Amα+kmAm+1α＝0
由A^m+1α=0，得
k1Aα+k2A2α+…+km?1Amα＝0
再次两端左乘A，得
k1A2α+k2A3α+…+km?2Amα＝0
如此继续下去，当两边左乘A的次数达到m次时，得
k1Amα＝0，而A^mα≠0
∴k₁=0
代入（*）式，得
k2Aα+k3A2α+…+kmAmα＝0
两端左乘A次数达到m-1次时，得，
k2Amα＝0
而A^mα≠0
∴k₂=0
同理，k₃=…=k_m=0
∴α，Aα，A²α，…，A^mα线性无关
（2）假设设a是A的特征值，
则a^m是A^m的特征值，
而A^m=0，零矩阵只有0特征值
∴a^m=0
∴a=0．
即A的特征值只有0．
设其对应的若当块为J₁、J₂…J_k．
而任何一个矩阵都可以通过初等变换化成若当标准型
∴Aⁿ=（P^-1JP）ⁿ=P^-1（Jⁿ）P，
因此r（Aⁿ）=r（Jⁿ）．
而(Ji)n＝(Ji)(n+1)＝O，i=1，2…k．
则r（Jⁿ）=r（J^（n+1））
对应的有r（Aⁿ）=r（A^（n+1））

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