（2013•北京）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．

（2013•北京）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．

（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴
BC1
＝(4，−3，4)，
BA1
＝(0，−3，4)，
BB1
＝(0，0，4)．
设平面A1BC1的法向量为
n1
＝(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量为
n2
=（x2，y2，z2）．
则
n1
•
BC1
＝4x1−3y1+4z1＝0
n1
•
BA1
＝−3y1+4z1＝0
，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴
n1
＝(0，4，3)．
n2
•
BC1
＝4x2−3y2+4z2＝0
n2
•
BB1
＝4z2＝0
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴
n2
＝(3，4，0)．
cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
| |
n2
|
=
16
25
•
25
=
16
25
．
∴二面角A1-BC1-B1的余弦值为
16
25
．
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D(t，
3
4
(4−t)，t)，
∴
AD
=(t，
3
4
(4−t)，t)，
A1B
=（0，3，-4），
∵
AD
⊥
A1B
，∴
AD
•
A1B
＝0，
∴0+
9
4
(4−t)−4t＝0，解得t=
36
25
．
∴
BD
BC1
＝
DE
CC1
＝
9
25
．追问第二小问能不能不用空间向量做？麻烦帮下忙，谢谢了

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