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【狭义相对论】

单位 符号 单位 符号
坐标： m (x,y,z) 力： N F(f)
时间： s t(T) 质量:kg m(M)
位移： m r 动量:kg*m/s p(P)
速度： m/s v(u) 能量: J E
加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I
长度： m l(L) 动能：J Ek
路程： m s(S) 势能：J Ep
角速度： rad/s ω 力矩：N*m M
角加速度:rad/s^2α 功率：W P
一：
牛顿力学（预备知识）
(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)
当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：
(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)



二：
狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)
(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。
(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
(此处先给出公式再给出证明)
(二)洛仑兹坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度变换：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源与探测器在一条直线上运动。)
(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.
(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt
(九)质能方程：E=Mc^2
(十)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2
(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)



三：
三维证明：
(一)由实验总结出的公理，无法证明。
(二)洛仑兹变换：
设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度变换：
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表达式。
(四)尺缩效应：
B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)钟慢效应：
由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量)，故△t=γ△T.
(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)
(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)
牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
牛顿力学中，v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
(八)相对论力学基本方程：
由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）
(九)质能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
(十)能量动量关系：
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2



四：
四维证明：
(一)公理，无法证明。
(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。
由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。
(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。
则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）
四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)
四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
则f=mdV/dτ=mω
(九)质能方程：
fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))
故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2
故E=Mc^2=Ek+mc^2

【广义相对论】

光线在通过大质量物体附近时会发生弯曲，这是广义相对论的一个重要预言。但对这一预言的验证常被戏剧化地、简单化和夸张地再现给观众和读者，大大偏离了科学史史实。那么，真实的情形如何呢？

在一部艺术地再现爱因斯坦一生的法国电影《爱因斯坦》中，有这样一个镜头，1919年秋季某一天在德国柏林，爱因斯坦举着一张黑乎乎的照相底片，对普朗克说：（大意）多么真实的光线弯曲啊，多么漂亮的验证啊！

光线在通过大质量物体附近时会发生弯曲，这是广义相对论的一个重要预言。但对这一预言的验证常被戏剧化、简单化和夸张地再现给观众和读者，大大偏离了科学史史实。笔者觉得围绕光线弯曲的预言与验证，有以下三个方面的史实需要澄清。

首先，光线弯曲不是广义相对论独有的预言。早在1801年索德纳（Johann von Soldner，1766－1833）就根据牛顿力学，把光微粒当做有质量的粒子，预言了光线经过太阳边缘时会发生0.87角秒的偏折。1911年在布拉格大学当教授的爱因斯坦根据相对论算出日食时太阳边缘的星光将会偏折0.87角秒。1912年回到苏黎士的爱因斯坦发现空间是弯曲的，到1915年已在柏林普鲁士科学院任职的爱因斯坦把太阳边缘星光的偏折度修正为1.74角秒。

其次，需要观测来检验的不只是光线有没有弯曲，更重要的是光线弯曲的量到底是多大，并以此来判别哪种理论与观测数据符合得更好。这里非常关键的一个因素就是观测精度。即使观测结果否定了牛顿理论的预言，也不等于就支持了广义相对论的预言。只有观测值在容许的误差范围内与爱因斯坦的预言符合，才能说观测结果支持广义相对论。20世纪60年代初，有一种新的引力理论——布兰斯－迪克理论（Brans－Dicke Theory）也预言星光会被太阳偏折，偏折量比广义相对论预言的量小8％。为了判别广义相对论和布兰斯－迪克理论哪个更符合观测结果，对观测精度就提出了更高的要求。

第三，光线弯曲的效应不可能用眼睛直观地在望远镜内或照相底片上看到，光线偏折的量需要经过一系列的观测、测量、归算后得出。要检验光线通过大质量物体附近发生弯曲的程度，最好的机会莫过于在发生日全食时对太阳所在的附近天区进行照相观测。在日全食时拍摄若干照相底片，然后最好等半年之后对同一天区再拍摄若干底片。通过对相隔半年的两组底片进行测算，才能确定星光被偏折的程度。这里还需要指出，即使是在日全食时，在紧贴太阳边缘处也是不可能看到恒星的。以1973年的一次观测为例，被拍摄到的恒星大多集中在离开太阳中心5到9个太阳半径的距离处，所以太阳边缘处的星光偏折必定是根据归算出来的曲线而外推获得的量。靠近太阳最近的一、二颗恒星往往非常强烈地影响最后的结果。

作了上述澄清之后，再来看本文开头所述的电影《爱因斯坦》中的艺术表达手法，过分得有点在愚弄观众的味道了；而一些科学类读物中的说法，譬如“爱丁顿率领着考察团，去南非看日食，真的看见了”这样的描述也过于粗略，容易产生误导。那么，对光线弯曲预言的验证的真实历史是怎样的呢？

爱丁顿对检验广义相对论关于光线弯曲的预言十分感兴趣。为了在1919年5月29日发生日全食时进行检验光线弯曲的观测，英国人组织了两个观测远征队。一队到巴西北部的索布拉尔（Sobral），另一队到非洲几内亚海湾的普林西比岛（Principe），爱丁顿参加了后一队，但他的运气比较差，日全食发生时普林西比的气象条件不是很好。1919年11月两支观测队的结果被归算出来：索布拉尔观测队的结果是1.98″±0.12″；普林西比队的结果是1.61″±0.30″。1919年11月6日，英国人宣布光线按照爱因斯坦所预言的方式发生偏折。

但是这一宣布是草率的，因为两支观测队归算出来的最后结果后来受到人们的怀疑。天文学家们明白，在检验光线弯曲这样一个复杂的观测中，导致最后结果产生误差的因素很多。其中影响很大的一个因素是温度的变化，温度变化导致大气扰动的模型发生变化、望远镜聚焦系统发生变化、照相底片的尺寸因热胀冷缩而发生变化，这些变化导致最后测算结果的系统误差大大增加。爱丁顿他们显然也认识到了温度变化对仪器精度的影响，他们在报告中说，小于10°F的温差是可以忽略的。但是索布拉尔夜晚温度为75°F，白天温度为97°F，昼夜温差达22°F。后来研究人员考虑了温度变化带来的影响，重新测算了索布拉尔的底片，最大的光线偏折量可达2.16″±0.14″。

底片的成像质量也影响最后结果。1919年7月在索布拉尔一共拍摄了26张比较底片，其中19张由格林尼治皇家天文台的天体照相仪拍摄，这架专门用于天体照相观测的仪器所拍摄的底片质量却较差，另一架4英寸的望远镜拍摄了7张成像质量较好的底片。按照前19张底片归算出来的光线偏折值是0.93″，按照后7张底片归算出来的光线偏折值却远远大于爱因斯坦的预言值。最后公布的值是所有26张底片的平均值。研究人员验算后发现，如果去掉其中成像不好的一、二颗恒星，会大大改变最后结果。

后来1922年、1929年、1936年、1947年和1952年发生日食时，各国天文学家都组织了检验光线弯曲的观测，公布的结果有的与广义相对论的预言符合较好，有的则严重不符合。但不管怎样，到20世纪60年代初，天文学家开始确信太阳对星光有偏折，并认为爱因斯坦预言的偏折量比牛顿力学所预言的更接近于观测，但是爱因斯坦的理论可能需要修正。

1973年6月30日的日全食是20世纪全食时间第二长的日全食，并且发生日全食时太阳位于恒星最密集的银河星空背景下，十分有利于对光线偏折进行检验。美国人在毛里塔尼亚的欣盖提沙漠绿洲建造了专门用于观测的绝热小屋，并为提高观测精度作了精心的准备，譬如把暗房和洗底片液保持在20°C、对整个仪器的温度变化进行监控等等。在拍摄了日食照片后，观测队封存了小屋，用水泥封住了望远镜上的止动销，到11月初再回去拍摄了比较底片。用精心设计的计算程序对所有的观测量进行分析之后，得到太阳边缘处星光的偏折是1.66″±0.18″。这一结果再次证实广义相对论的预言比牛顿力学的预言更符合观测，但是难以排除此前已经提出的布兰斯－迪克理论。

光学观测的精度似乎到了极限，但1974年到1975年间，福马伦特和什拉梅克利用甚长基线干涉仪，观测了太阳对三个射电源的偏折，最后得到太阳边缘处射电源的微波被偏折1.761″±0.016″。终于天文学家以误差小于1％的精度证实了广义相对论的预言，只不过观测的不是看得见的光线而是看不见的微波。

那么，我们难道只能说直到1975年爱因斯坦的广义相对论才成为“正确”的理论？才上升为科学？

从本文前述广义相对论提出之后半个多世纪里人们对光线弯曲预言的检验情况来看，1919年所谓的验证在相当程度上是不合格的。但爱因斯坦因这次验证而获得了极大的荣誉也是毋庸置疑的。如今的媒体和大多数科学史家也都把1919年的日食观测当做证实了爱因斯坦理论的观测。那么爱因斯坦本人又是如何看待他的理论预言和观测验证的呢？

早在1914年，爱因斯坦还没有算出正确的光线偏折值，就已经在给贝索（Besso）的信中说：“无论日食观测成功与否，我已毫不怀疑整个理论体系的正确性（correctness）。”还有一个故事也广泛流传，说的是当预言被证实的消息传来，爱因斯坦正在上课，一位学生问他假如他的预言被证明是错的，他会怎么办？爱因斯坦回答说：“那么我会为亲爱的上帝觉得难过，毕竟我的理论是正确的。”1930年爱因斯坦写道：“我认为广义相对论主要意义不在于预言了一些微弱的观测效应，而是在于它的理论基础的简单性。”

在爱因斯坦看来，是广义相对论内在的简单性保证了它的“正确”性。1919年的证实确实给爱因斯坦带来了荣誉，但那是科学之外的事情；1919年的证实或许还让更多的人“相信”广义相对论是“正确”的，但这种证实很大程度上只是起到了“说服”的作用。从科学史上来看，精密的数理科学的进步模式确实有着这样的规律和特点：它们往往是运用了当时已有的最高深的数学知识而构建起来的一些精致的理论模型，它们的“正确”性很大程度上由它们内在的简单性和统一性所保证。虽然它们必然会给出可供检验的预言，譬如哥白尼日心说预言了恒星周年视差，爱因斯坦广义相对论预言了光线弯曲，霍金的黑洞理论预言了霍金辐射，但不必等到这些预言被证实，那些理论就应该并可以被当做科学理论。

那么“预言的证实”除了给爱因斯坦带来科学之外的荣誉外，还有没有别的意义呢？笔者以为，通过观测来证实某一理论，对于该理论被科学共同体接受有至关重要的作用。在理论提出者譬如爱因斯坦来说，他自信理论的正确性有内在的保证。而对于更多的其他人，他们并没有能力在深刻理解理论的基础上来判断该理论的正确性，所以只能采取“预言－证实”这样一种在其他场合也能行之有效的模式来判断理论的正确性。这“更多的其他人”包括了从较为专业的研究人员到一般大众的复杂人群构成。在理论提出者和“更多其他人”眼里，理论“正确”的标准也显然是不一致的。爱因斯坦在1914年就确信他的理论是正确的；从报纸等媒体上获悉科学信息的一般大众则在1919年相信了爱因斯坦是正确的；而在更为专业的研究人员那里，还要经过半个多世纪的反复检验，才敢说广义相对论在当时的认识水平上是正确的。

建立两空间直角坐标系O（X-Y-Z），O’（X’-Y’-Z’），且O相对O’以速度v运动，即X∥X’∥v,Y∥Y’ ,Z∥Z’.

当O与O’重合时在共同原点产生一光信号以C在真空中传播。则经过t后，O看到半径为r的球，O’看到半径为r’的球。波到达A时必有

对于O：r=ct,r²=x²+y²+z²

∴x²+y²+z²-c²t²=0...... ①

对于O’:r’=ct’,r’ ²=x’ ²+y’ ²+z’ ²

∴x’ ²+y’ ²+z’ ²-c²t’ ²=0...... ②

由于对称性：y’=y,z’=z

∴设x’=k(x-vt)...... ③

t’=a(t-bx)...... ④

【a、b、k为待定常数】

将③④式代到②式,并根据对称性得：

(k²-b²a²c²)x²-2(k²v-ba²c²)xt+y²+z²=(a²-k²v²/c²)c²t²......⑤

∵⑤必须全等于①式

∴k²-b²a²c²=1,k²v-ba²c²=0,a²-k²v²/c²=1

∴k=a=1/√(1-v²/c²),b=v/c²

于是根据光速不变原理得到以下结论（即洛伦兹变换）：

x’=(x-vt)/ √(1-v²/c²)

y’=y

z’=z

t’=(t-vx/c²)/√(1-v²/c²)

反洛伦兹变换：

x=(x’+vt’)/ √(1-v²/c²)

y=y’

z=z’

t=(t’+vx’/c²) /√(1-v²/c²)

当v＜＜c时（即经典力学下的情况），可近似认为：k=a=1,b=0

∴x’=x

y’=y

z’=z

t’=t

以上为绝对时空观的结论，即伽利略变换。

M=m /√(1-v²/c²)

P=Mv=mv/√(1-v²/c²)

V=dx/dt

V’=dx’/dt’

dx’=(dx-vdt)/√(1-v²/c²)=(V-v)dt/√(1-v²/c²)

dt’=(dt-vdx/c²)/√(1-v²/c²)=(1-vV/c²)dt/√(1-v²/c²)

∴V’=(V-v)/(1-Vv/c²)

反变换：V=(V’+v)/(1-V’v/c²)

尺缩效应推导： 一根相对O’静止且平行与O’X’的条形刚体，则O’测得它的长度L’=X’-x’,而O测得它的长度为L=X-x

根据洛伦兹变换：

X’=(X-vt)/√(1-v²/c²)

x’=(x-vt)/√(1-v²/c²)

∴L’=L/√(1-v²/c²)

即运动的物体长度在运动方向上缩短了。 钟慢效应推导：

相对O’在同一地点x发生的两件事间隔为T’=t1’-t2’

相对O来说两件事间隔为T=t1-t2

根据洛伦兹变换：

t1=(t1’+vx/c²)/√(1-v²/c²)

t2=(t2’+vx/c²)/ √(1-v²/c²)

∴T’=T√(1-v²/c²)

即相对运动的物体中所发生的过程比相对静止的物体中所发生的过程所费时间要长一些；或相对运动的物体的时间比相对静止的物体的时间过得要慢一些。

设粒子的静质量为：m

∴M=km=m/√(1-v²/c²)......⑥

∴p=kmv=mv/√(1-v²/c²)......⑦

∵v=dr/dt...... ⑧

F=dp/dt...... ⑨

Ek=∫Fdr...... ⑩

由⑥⑦⑧⑨⑩式得：

Ek=mv²/√(1-v²/c²)-mc²√(1-v²/c²)-mc²

∴Ek=Δmc²

即动能增加等于运动物体质量增加的c²倍。

推广：由动能推广到任意能量增加或减少等于物体质量增加减少的c²倍，即：

△ E=△mc²(即质能损亏方程)

∴E=△E+mc²=Mc²

这就是著名的爱因斯坦质能方程。

∵E=△E+mc²=Mc²和p=kmv=mv/√(1-v²/c²)

∴v=c ²p/E

∵p=kmv=mv/√(1-v²/c²)

∴E=c√(m²c²+p²)

若：m=0

则：E=cp

∴v=c

即零静质量物体的速度必然以光速运动。

对于O:p=kmv=mv/√(1-v²/c²)

∴p ²-E ²/c ²=-m ²c ²

∴Px ²+Py ²+Pz ²-E ²/c ²=-m ²c ²

对于O’必有: Px’ ²+Py’ ²+Pz’²-E’²/c ²=-m ²c ²

建立对应关系：Px→x ，Py→y ,Pz→z ,E/c→ct

根据洛伦兹变换：

P’x’=(Px-vE/c²)/√(1-v²/c²)

P’y’=Py

P’z’=Pz

E’=(E-vPx)/ √(1-v²/c²)

系统总动量为：P=∑Pi ；总能量为：E=∑mic²=Mc²,M=∑mi

∴Vc=c²P/E=P/M

广义相对论的说明要用到黎曼几何，说清楚太累人了，狭义相对论百度上一大把，自己去找，看你口气好像怀疑相对论，很正常，初学者都怀疑相对论，科学需要怀疑，没有怀疑就没有进步，我一开始也怀疑，不过现在已经确定相对论是正确的，至少对目前的人类的认识水平来说