已知函数f(x)=ln(2x)/x,(1)求f(x)在[1,a](a>1)

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解决时间 2021-01-30 00:32

提问者网友：疯子也有疯子的情调
2021-01-29 09:02

已知函数f(x)=ln(2x)/x,(1)求f(x)在[1,a](a>1)上的最小值。

最佳答案

五星知识达人网友：轻熟杀无赦
2021-01-29 09:34

f'(x)=1/(1+x)+ax-1=-x/(1+x)+ax=x[a-1/(1+x)] x>0, a=0时， f'(x)=-x/(1+x)<0, 故函数单调减，f(1)=ln2-1<0, 不符题意； 00，f(1/a-1)=-lna+a/2(1/a-1)²-(1/a-1)=-lna-1/(2a)+a/2=g(a) 而g'(a)=-1/a+1/(2a²)+1/2=(a²-2a+1)/(2a²)=(a-1)²/(2a²)>=0 即g(a)单调增，g(1)=0, 因此在0=1时，在f'(x)>=0, 函数单调增，最小值为f(0)=0, 符合题意；综合得：a>=1

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1楼网友：几近狂妄
2021-01-29 09:41

f'(x)=1/(1+x)+ax-1=-x/(1+x)+ax=x[a-1/(1+x)] x>0, a=0时， f'(x)=-x/(1+x)<0, 故函数单调减，f(1)=ln2-1<0, 不符题意； 0<a<1时，由f'(x)=0, 得极小值点x=1/a-1>0，f(1/a-1)=-lna+a/2(1/a-1)²-(1/a-1)=-lna-1/(2a)+a/2=g(a) 而g'(a)=-1/a+1/(2a²)+1/2=(a²-2a+1)/(2a²)=(a-1)²/(2a²)>=0 即g(a)单调增，g(1)=0, 因此在0<a<1, 有g(a)<0, 不符题意； a>=1时，在f'(x)>=0, 函数单调增，最小值为f(0)=0, 符合题意；综合得：a>=1

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