不等式x^2-2mx-1>0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围

是充要条件那的题，

详细步骤

不等式x^2-2mx-1＞0对一切满足条件1≤x≤3的实数x都成立
实质是最小值也大于0
x^2-2mx-1＞0
则对称轴为m
当m<1
最小是f(1)

f(1)>0
m<0
当m>3
最小是f(3)
f(3)>0
m<4/3（不成立）

当
1<m<3
最小是f(m)>0
m^2<-1
不成立
所以
m<0

x^2-2mx-1>0

-b/2a=m

当m<1

f（1）>0

1-2m-1>0

m<0

当1<=m<=3

f(m)>0

m^2-2m^2-1>0

无解

当m>3

f(3)>0

9-6m-1>0

m<4/3因为m>3所以无解

综上所述m<0

方程x^2-2mx-1=0

即(x-m)^-(1+m^)=0,对称轴为x=m,顶点坐标为(m,-1-m^)

方程的两根为x=m+√(^2+1) 或x=m-√(m^2+1)

而f(m/2)=-1-m^<0,因此函数图象的顶点一定在X轴的下方

因此:

(1)当m<0时,即对称轴在Y轴的左侧,

此时f(x)=0时，x=m+√(^2+1) 或x=m-√(m^2+1)

此时只需要m+√(m^2+1) ≤１即可，此时m≤0

交集:m<0

(2)当m>0时,即对称轴在Y轴的右侧，

此时f(x)=0时，x=m+√(^2+1) 或x=m-(^2+1)

则只需要m-√(m^2+1)≥3或m+√(m^2+1) ≤１即可，此时m≤3/4或m≤0

而m>0

交集为空集

综上有m的取值范围是m<0

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