自变量的微分为什么等于自变量的增量

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解决时间 2021-03-27 09:35

提问者网友：自食苦果
2021-03-27 02:28

自变量的微分为什么等于自变量的增量

最佳答案

五星知识达人网友：老鼠爱大米
2021-03-27 03:25

回答你的问题之前，先来看下dy的定义

定义：设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，当自变量在x0处取得增量Δx时，如果相应的函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示为
Δy=AΔx+o(Δx).............①
其中，A是与x0有关而不依赖于Δx的常数，o(Δx)是比Δx高阶的无穷小量（当Δx→0时)，那么称AΔx为函数y=f(x)在点x0相应于自变量的增量Δx的微分，记为dy，即
dy=AΔx
对①式两边同时除以Δx，得
Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx
于是当Δx→0时，有
lim(Δx→0)Δy/Δx=lim(Δx→0)[A+o(Δx)/Δx]=A
即
A=f'(x0)
代入②，就得到
dy=A*Δx
★...................通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记为dx.......................★
于是
dy=f'(x0)dx

在“通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记为dx"这句话中，显然Δx=dx是人们的给出的定义，但是，任何一种定义也不是乱给的，就像你的名字，父母不可能不假思索的随便起一个。

仿照dy的定义，将①中的Δy改写成Δx，就有
Δx=AΔx+o(Δx)............③
依照dy的定义，则
dx=A*Δx...........④
③式两边同时除以Δx，再取极限，得
lim(Δx→0)Δx/Δx=lim(Δx→0)[A+o(Δx)]=A
显然lim(Δx→0)Δx/Δx=1
所以A=1，代入④，得
dx=Δx.
这就是dx=Δx的由来。

以上纯属个人理解，如有误，敬请谅解！

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1楼网友：等灯
2021-03-27 05:33

引用数神0的回答：
回答你的问题之前，先来看下dy的定义
定义：设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，当自变量在x0处取得增量Δx时，如果相应的函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示为
Δy=AΔx+o(Δx).............①
其中，A是与x0有关而不依赖于Δx的常数，o(Δx)是比Δx高阶的无穷小量（当Δx→0时)，那么称AΔx为函数y=f(x)在点x0相应于自变量的增量Δx的微分，记为dy，即
dy=AΔx
对①式两边同时除以Δx，得
Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx
于是当Δx→0时，有
lim(Δx→0)Δy/Δx=lim(Δx→0)[A+o(Δx)/Δx]=A
即
A=f'(x0)
代入②，就得到
dy=A*Δx
★...................通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记为dx.......................★
于是
dy=f'(x0)dx
在“通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记为dx"这句话中，显然Δx=dx是人们的给出的定义，但是，任何一种定义也不是乱给的，就像你的名字，父母不可能不假思索的随便起一个。
仿照dy的定义，将①中的Δy改写成Δx，就有
Δx=AΔx+o(Δx)............③
依照dy的定义，则
dx=A*Δx...........④
③式两边同时除以Δx，再取极限，得
lim(Δx→0)Δx/Δx=lim(Δx→0)[A+o(Δx)]=A
显然lim(Δx→0)Δx/Δx=1
所以A=1，代入④，得
dx=Δx.
这就是dx=Δx的由来。
以上纯属个人理解，如有误，敬请谅解！3式子Δx=AΔx+o(Δx).其中俩边的Δx并不相等。

2楼网友：西风乍起
2021-03-27 04:59

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