如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，E为AB的中点，连接DE．（1）求证：四边形EBCD是矩形；（2）求证：AD=BD．

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，E为AB的中点，连接DE．
（1）求证：四边形EBCD是矩形；
（2）求证：AD=BD．

证明：（1）∵AB=2DC，E为AB的中点，
∴CD=BE，
又∵CD∥BE，
∴四边形EBCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠ABC=90°，
∴四边形EBCD是矩形（有一个角为直角的平行四边形即是矩形）．

（2）由题意得：DE为三角形ABD的中线和高，
∴三角形ABD为等腰三角形，
∴AD=BD，得证．解析分析：（1）先判断四边形EBCD为平行四边形，然后由∠ABC=90°，即可判断出四边形EBCD是矩形；
（2）DE为三角形ABD的中线和高，可知三角形ABD为等腰三角形，即可得出AD=BD．点评：本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．

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