设分段函数f(x)={e^x,x<=0 x,x>0 F(x)=∫(-1,x)f(t)dt,则F(x)在x=0处为什么连续但不可导

设分段函数f(x)={e^x,x<=0 x,x>0 F(x)=∫(-1,x)f(t)dt,则F(x)在x=0处为什么连续但不可导

这种题首先要求出F(x)
当x≤0时，
F(x)=∫[-1→x] f(t) dt
=∫[-1→x] e^t dt
=e^t [-1→x]
=e^x-e^(-1)
当x>0时
F(x)=∫[-1→x] f(t) dt
=∫[-1→0] e^t dt+∫[0→x] t dt
=e^t |[-1→0] + (1/2)t² [0→x]
=1-e^(-1)+(1/2)x²
因此F(x)=e^x-e^(-1) x≤0
1-e^(-1)+(1/2)x² x>0
易证x→0时，左右极限相等，均为1-e^(-1)，因此F(x)连续
然后用左右导数的定义求左右导数
lim [x→0-] [f(x)-f(0)]/x
=lim [x→0-] [e^x-e^(-1)-1+e^(-1)]/x
洛必达法则
=lim [x→0-] e^x/1
=1
lim [x→0+] [f(x)-f(0)]/x
=lim [x→0+] [1-e^(-1)+(1/2)x²-1+e^(-1)]/x
=lim [x→0+] (1/2)x²/x
=0
因此F(x)在x=0处左右导数不等，因此不可导。

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