已知函数f(x)=-x２+8x,g(x)=6lnx+m 1.求在f(x)区间[t,t+1]上的最大值h(t)

求解

答：
存在，7<m<15-6ln3
解：
依题意，欲使f(x)，g(x)有三交点，f(x)=g(x)必有三实根
令：-x^2+ 8*x= 6*lnx+ m
即：x^2-8x+ 6lnx+ m =0
不妨设h(x)=x^2-8x+ 6lnx+ m
考虑函数的单调性：
h'(x)= 2x-8 +6/x= 2(x+3/x -4)
令h'(x)=0得二根：x=1，x=3，且0<x<1时h'(x)>0，1<=x<=3时h'(x)<=0，x>3时h'(x)>0
于是得到h(x)的单调性：
0<x<1单增，1<=x<=3单减，x>3单增，x=1时取得极大值，x=3时极小值
要使h(x)=0有三实根，只需：
h(1)>0，h(3)<0
带入即得：m>7且m<15-6ln3
或：7<m<15-6ln3

这个问题要分类讨论是根的分布问题 因为图象对称轴为x=4(x=-b/2a) 所以当t<3.5时最大值为h(t)即f(t) 当t>3.5时最大值为h(t+1)即f(t+1) t=3.5时最大值为13.25

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