帮手解决一道数学题

已知方程x^2+y^2-2(t+3)x+2(1-4t^2)y+16t^4+9=0(t∈R)的图形是圆。

(1)求t的取值范围

(2)求其中面积最大的圆的方程

(3)若点P(3,4t^2)恒在所给圆内，求t的取值范围

x²-2（t+3）x+（t+3）²+y²+2（1-4t²）y+（1-4t²）²=（t+3）²+（1-4t²）²-16t^4-9

（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（1-4t²）²-16t^4-9

（1）要使图形成圆，则（t+3）²+（1-4t²）²-16t^4-9>0 -7t²+6t+1>0 （t-1）（7t+1）<0

因此-1/7<t<1

（2）圆面积最大，就是 -7t²+6t+1最大，当t=3/7时，最大

带入方程得出（x-24/7）²+（y+13/49）²=16/7

（3）点P恒在圆内，则P到圆心的距离恒不大于半径

（3-3-t）²+（4t²-4t²+1）²<= -7t²+6t+1

因此0<=t<=3/4

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