欧拉线欧拉线

定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．如何证明

欧拉线的证法1：
　　作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
　　∵ BD是直径
　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角
　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC
　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC
　　∴ DA‖CH，DC‖AH
　　∴ 四边形ADCH是平行四边形
　　∴ AH=DC
　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点
　　∴ OM= 1/2DC
　　∴ OM= 1/2AH
　　∵ OM‖AH
　　∴ △OMG’ ∽△HAG’
　　∴AG/GM=2/1
　　∴ G’是△ABC的重心
　　∴ G与G’重合
　　∴ O、G、H三点在同一条直线上
　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
　　欧拉线的证法2：
　　设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
　　连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
　　连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
　　连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
　　又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。
　　欧拉线的证法3
　　设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
　　则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
　　向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，
　　向量OG*3=向量OH
　　所以O、G、H三点共线

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