设0<p(a)<1,0<p(b)<1试证:事件A与B独立的充要条件是:P(A|B)+P(非A|非B)=1
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解决时间 2021-03-22 01:37
- 提问者网友：蔚蓝的太阳
- 2021-03-21 13:33
设0<p(a)<1,0<p(b)<1试证:事件A与B独立的充要条件是:P(A|B)+P(非A|非B)=1
最佳答案
- 五星知识达人网友：煞尾
- 2021-03-21 13:49
若独立，则由P(AB)=P(A)P(B)
得P(B|A)=P(AB)/P(A)=[P(A)P(B)]/P(A)=P(B)
P(B|A*)=P(A*B)/P(A*)=P(A*)P(B)/P(A*)=P(B)
故P(B|A)=P(B|A*)
若P(B|A)=P(B|A*)
则P(AB)/P(A)=P(A*B)/P(A*)=[P(B)-P(AB)]/[1-P(A)]
即P(A)P(B)-P(A)P(AB)=P(AB)-P(A)P(AB)
P(AB)=P(A)P(B)
故A与B相互独立
得P(B|A)=P(AB)/P(A)=[P(A)P(B)]/P(A)=P(B)
P(B|A*)=P(A*B)/P(A*)=P(A*)P(B)/P(A*)=P(B)
故P(B|A)=P(B|A*)
若P(B|A)=P(B|A*)
则P(AB)/P(A)=P(A*B)/P(A*)=[P(B)-P(AB)]/[1-P(A)]
即P(A)P(B)-P(A)P(AB)=P(AB)-P(A)P(AB)
P(AB)=P(A)P(B)
故A与B相互独立
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