设f(x)是定义在R上的函数，对m,n属于R恒有f(m+n)=f(m).f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1,f(0)不等于0
证明：x属于R时恒有f(x)>0
高中数学：抽象函数
答案:3 悬赏:30 手机版
解决时间 2021-08-11 22:16
- 提问者网友：城市野鹿
- 2021-08-11 15:45
最佳答案
- 五星知识达人网友：走死在岁月里
- 2021-08-11 16:33
证明：f(m+n)=f(m)*f(n),f(x)=f(x)f(0)对于任意x成立
∴f(0)=1
f(x-x)=f(x)*f(-x)=1
则f(x)与f(-x)同号
当x>0时，0<f(x)<1
则当x<0时， 0<f(x)
f(0)=1>0
所以x属于R时恒有f(x)>0
∴f(0)=1
f(x-x)=f(x)*f(-x)=1
则f(x)与f(-x)同号
当x>0时，0<f(x)<1
则当x<0时， 0<f(x)
f(0)=1>0
所以x属于R时恒有f(x)>0
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- 1楼网友：摆渡翁
- 2021-08-11 19:48
当x>=0时，0<f(x)<=1。当x<0时，令m=n=x，由f(m+n)=f(m)*f(n)，所以f(2x)=f(x)*f(x)>0，故对于任意的x<0，f(x)>0。所以当x∈R，恒有f(x)>0。
- 2楼网友：玩世
- 2021-08-11 18:09
令n=m=0，f(0)=f(0)^2，因为f(0)不等于0所以f(0)=1。令m>0，n=-m。则f(m+n)=f(m).f(n)，即是f(0)=f(m).f(-m)，因为f(0)=1，且当x>0时，0<f(x)<1。所以f(-m)>1。所以x属于R时恒有f(x)>0
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