在平面直角坐标系xoy中 直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点。

（1）求证“如果直线L过点（3，0），那么向量OA*向量OB=3”是真命题。

1)直线L过(3,0),设直线为x=ky+3

代入抛物线得 y²=2(ky+3), 则y²-2ky-6=0

∴y1+y2=2k,y1y2=-6

OA*OB=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(y1²/2)(y2²/2)+y1y2=(y1y2)²/4+y1y2=(-6)²/4-6=9-6=3

∴原命题是真命题

2)逆命题:若OA向量乘以OB向量=3那么L过点T(3,0)

证明:假设直线L:x=ky+b

代入抛物线得 y²=2(ky+b), 则y²-2ky-2b=0

∴y1+y2=2k,y1y2=-2b

OA*OB=(x1,y1)(x2,y2)=(y1y2)²/4+y1y2=(-2b)²/4-2b=b²-2b=3

∴b²-2b-3=(b-3)(b+1)=0, b=3或-1

b=3时,L:y=ky+3过定点(3,0)命题为真;b=-1时,L:x=ky-1过定点(-1,0)命题为假

∴原命题的逆命题是假命题

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