2007年江西省初中数学竞赛试题谁有
- 提问者网友:两耳就是菩提
- 2021-05-22 04:08
- 五星知识达人网友:琴狂剑也妄
- 2021-05-22 04:31
2007年全国初中数学联赛江西省预赛试卷
第一试
一、选择题
1.2007的末位数字是( )
(A)1 (B)3 (C)7 (D)9
2.化简 的结果是( )
(A) (B) (C) + (D) -
3.若a,b,c为正数,已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根,则方程(a+1)x2+(b+2)x+(c+1)=0的根的情况是( )
(A)没有实根 (B)有两个相等的实根
(C)有两个不等的实根 (D)不能确定
4.若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点,则这种直角三角形的个数为( )
(A)36 (B)60 (C)96 (D)120
5.对于给定的单位正方形,若将其两条对角线以及每两条边的中点连线作出,便得到如图,则图中互为相似的三角形“对子”数有( )
(A)44 (B)552
(C)946 (D)1892
6.若将三条高线长度分别为x,y,z的三角形记为(x,y,z),则在以下四个三角形(6,8,10),(8,15,17),(12,15,20),(20,21,29)中,直角三角形的个数为( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二、填空题(每小题7分,共28分)
7.方程 =1的解为________.
8.边长为整数,周长为20的三角形个数是______.
9.在边长为1的正方形ABCD中,分别以A,B,C,D为圆心,作半径为1的圆弧,将正方形分成图中的九个小块,则中心小块的面积是______.
10.用数字1,2,3,4排成一个四位数,使得这个数是11的倍数,则这样的四位数共有_______个.
第二试
三、解答题
11.(20分)试求所有的整数a,使得关于x的一元二次方程
x2- x-(a2-4a+9)=0 ① 的两根皆为整数.
12.(25分)四边形ABCD的对角线AC,BD交于P,过点P作直线,交AD于E,交BC于F,若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
证明:四边形ABCD为平行四边形.
13.(25分)若数a能表示成两个自然数(允许相同)的平方和,则称a为“好数”,试确定,在前200个正整数1,2,…,200中,有多少个“好数”?
参考答案
一、1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A
二、7. , , 8.8 9. +1- 10.8个
三、11.设方程的两根为x1,x2,则 =x1+x2=整数,即①为整系数一元二次方程,其根为整数,则其判别式△必为完全平方数.
设(5a2-26a-8)+4(a2-4a+9)=b2,b∈N,即(3a-7)2-b2=21.
故得(3a-7-b)(3a-7+b)=21.
因21=3·7=1·21=(-7)·(-3)=(-21)·(-1),
②
③
④
⑤ |
分别解得,a=4,6, ,- .
因为a为整数,且当a=4时, 无意义,
故只有a=6,此时方程①成为x2-4x-21=0,它有两个整根:7和-3,
因此本题所求的整数a=6.
12.在PA,PC的延长线上分别取点M、N,使AM=AE,CN=CF,
则PM=PN,于是EMFN为平行四边形.
得∠AME=∠CNF,且△AME,△CNF皆为等腰三角形,
则∠PAE=∠PCF,所以△PAE≌△PCF,得PA=PC.
故AFCE为平行四边形.
AE∥CF,所以∠PED=∠PFB,
△ PED≌△PFB,因此,PB=PD,即对角线AC,BD互相平分,
从而四边形ABCD为平行四边形.
13.不超过200的平方数是02,12,22,…,142.
显然,12,22,…142中的每个数k2可表为k2+0形式,这种数共有14个;
而12,22,…,102中的每一对数(允许相同)的和不大于200,
这种数有 +10=55(个),
(其中,x2+x2形式的数10个,x2+y2(x≠y)形式的数 =45个).
其次,112+x2(x=1,2,…8)形式的数8个;
122+x2(x=1,2,…,7)形式的数7个;
132+x2(x=1,2,…,5)形式的数5个;
142+x2(x=1,2)形式的数2个.
共得22个.
再考虑重复情况,利用如下事实:
若x=a2+b2,y=c2+d2(a≠b,c≠d),
则xy=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2.
不超过40且能表为两个不同正整数的平方和的数有
5,10,13,17,20,25,26,29,34,37,40,
该组中的每个数与5的积,以及13都不大于200,
且都可用两种方式表为平方和,
故各被计算了两次,累计有12次重复(10,13,17,20与10的积已包含在以上乘积组中).
因此,满足条件的数共有:
14+55+22-12=79个.