已知y=(2x^+2x+5)/(x^2+x+1)，求函数的值域。解释答案步骤，我有答案！

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解决时间 2021-02-23 12:14

提问者网友：我一贱你就笑
2021-02-23 08:12

一因：x^2+x+4=(x+1/2)^2+3/4大于0 二所：函数定义域为R 三(x^2+x+1)y-(2x^2+2x+5)=0推出(y-2)x^2+(y-2)x+(y-5)=0 四因：y不等2(y=2时x不存在) 五所：判别式=(y-2)^2-4(y-2)(y-5)大于等于0[这步不懂，求详解！］六即(y-2)(y-6)小于等于0[怎么来的？］七所：y大于等于2小于等于6推出(2,6]

最佳答案

五星知识达人网友：由着我着迷
2021-02-23 09:06

解：∵y=2x^+2x+5)/(x^2+x+1)
=(2x^+2x+2+3)/(x^2+x+1)
=[2(x^2+x+1)+3]/(x^2+x+1)
=2+3/(x^2+x+1)>2
∴y>2 (y-2>0)

∵x^2+x+4=(x+1/2)^2+3/4
∴函数y定义域为R

由(x^2+x+1)y-(2x^2+2x+5)=0

得(y-2)x^2+(y-2)x+(y-5)=0
∵y不等2(y=2时x不存在)

∴Δ =(y-2)^2-4(y-2)(y-5)≥0 (关于x的一元二次方程有解的条件）
（y-2)[(y-2)-4y+20)=(y-2)(-3y+18)=-3(y-2)[(y-2)(y+6)]≥0
即(y-2)(y-6)≤ 0

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1楼网友：千夜
2021-02-23 09:18

第一题要讨论二次函数曲线对称轴的位置，当-a/2<-1时，即a>2时，对称轴在定义域左侧，函数在区间[-1,2]上单调递增，值域为[f(-1),f(2)],即[0,3+3a],当-a/2>2时，即a<-4,函数在区间[-1,2]上单调递减，值域为[f(2）,f(-1)],即[3+3a,0],当-1=<-a/2<=0.5时，对称轴位于区间内左半部分，最小值为当x=-a/2时的函数值，最大值为x=2时的函数值，所以值域为[-a^2/4+a-1,3+3a];当0.5<-a/2<=2时，对称轴位于区间内右半部分，函数最小值在对称轴处，最大值在x=-1处，值域为（-a^2/4+a-12，0] 第二题，那个式子有歧义，如果是二次函数则最小值是顶点处的y值，最大值为无穷大。如果分号之后的式子都是分母，则求分母二次函数的值域，再取倒数求得值域。这类题一般是数形结合，想象着图像讨论不同情况，第一题就是一个对称轴的位置不同时，函数的单调性是不一样的问题，故需要讨论，离对称轴远的就大。

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