有个分段函数 x是有理数f(x)=x^2 x是无理数f(x)=0 为什么f(x)除了在x=0处连续外 其他点处处不连续

好像和无理数和有理数的分布有关 但不知道怎么分布的 不懂= =

我用文字描述一下吧。在实数轴上，有理数和无理数是相互穿插密布在实数轴上的，任何两个有理数之间有无数个无理数，任何两个无理数之间有无数个有理数。但我们要知道，无理数是比有理数“多”的，多不是指数量，是指集合的大小，有种叫“势”的东西用来度量集合的多少。
回到问题。讲到连续性，还是考虑定义。如果函数的变量变化，函数值相应地橡皮糖式的粘连变化，就可以说函数在变化范围里是连续的。直观一点就是，在定义域上任取a，当x趋于a时，函数值f(x)趋于f(a)，则函数在定义域连续，倘若a不是任取，那么函数f（x）在a点连续。
在这个分段函数里面，除去零点以外的其他点，比如用b表示一个非零的任意点，当x在b附近变化时f(b)与f(x)的差值绝对值总是无法跟以b为中心,任意小的正数为半径的开区间一样精细。因为你取一个无理数点，再取一个有理数点（由有理数和无理数的分布特点，这完全是可以做到的），两者的函数值差值的绝对值就是所取的有理数点对应的函数值的绝对值，可以“很大”，这违反了连续的定义。用这种思路就可以严格说明f(x)在0点以外都是不连续的。至于零点的连续性，一样的，用连续性的定义来说明。

另一种思路是这样的。映射f满足：开集的原象是开集,那么f是连续映射。可是，随便取个不包含0的开区间(a,b)，很轻易就能判断,(a,b)的原象一个无理数点都没有，因为无理数点都对到0上去了。从而(a,b)的原象不可能是开区间，因为数轴上的开区间都是有无理点的。

这种函数很多，但是有个函数是最简单的，就是(x-a)d(x),d(x)是dirichlet函数。当然你给的那个答案也是对的，就是dirichlet函数的变体即在有理点取1而无理点取-1。答案中的这个函数显然只在0点连续，而我说的那个函数显然仅在a点连续，证明很简单，只需注意d(x)是有界函数即可，直接用定义证。

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