三角形ABC三边长分别为4，5，6，P为三角形内部任意一点，P到三边距离分别为x,y,z，求x^2+y^2+z^2的最小值

三角形ABC三边长分别为4，5，6，P为三角形内部任意一点，P到三边距离分别为x,y,z，求x^2+y^2+z^2的最小值

x²＋y²＋z²≥3³√(x²y²z²)
当x＝y＝z时，等号成立，此时x、y、z为△ABC内切圆的半径r
即x²＋y²＋z²≥3r²
又∵△ABC的面积S＝1/2(a＋b＋c)r
∴r＝2S/(a＋b＋c)
设△ABC边长为6的边上的高为h，高把6分为两部分，一个设为x，则另一个为6－4²－x²＝5²－(6－x)²
解得x＝9/4，则h＝根号下[4²－(9/4)²]＝5√7/4
∴△ABC的面积S＝1/2×6×5√7/4＝15√7/4
r＝2×15√7/4/(4＋5＋6)＝√7/2
r²＝7/4
∴x²＋y²＋z²≥21/4
即x²＋y²＋z²的最小值为21/4

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