如图,A、P、B、C是圆O上的四点,∠APC=∠BPC=∠60°,AB与PC交于Q点。（1）求证：AP/PB=AQ/OB

如图,A、P、B、C是圆O上的四点,∠APC=∠BPC=∠60°,AB与PC交于Q点

1）求证：AP/PB=AQ/OB

2）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4根号3，求PC的长

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解答提示： 因为PQ是∠APB的平分线 所以根据角平分线性质得：AP/PB＝AQ/QB （角平分线的这个性质证明见： http://baike.baidu.com/view/276158.htm 定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC 提供四种证明方法： 已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 证明： 方法1：（面积法） 三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC 方法2（相似形） 过C作CN平行于AB交AM的延长线于N 三角形ABM相似三角形NCM, AB/NC=BM/CM, 又可证明∠CAN=∠ANC 所以AC=CN， 所以AB／AC=MB／MC 方法3（相似形） 过M作MN平行于AB交AC于N 三角形ABC相似三角形NMC, AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN， 所以AB/AC=AN/NC 所以AB／AC=MB／MC 方法4（正弦定理） 作三角形的外接圆，AM交圆于D， 由正弦定理，得， AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以AB／AC=MB／MC） 另外，本题目中60度的条件是多余的。

应该是24.

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