n为正整数,求证30丨n5-n

n为正整数,求证30丨n5-n

30 = 2*3*5，所以只需分别证明 2、3、5 能整除 n^5 - n

n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n、n-1、n+1 是3个连续整数，所以必有一个是2的倍数，一个是3的倍数。
所以：2和3 能整除 n^5 - n

下面证明 5 能整除 n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)
你可以由费尔马小定理直接得出：n^5 ≡ n (mod 5)，从而 5 | (n^5 - n)
如果不想用费尔马小定理：
若 n(n-1)(n+1) 这3个连续整数有一个能被 5 整除，则 n^5 - n 可被 5 整除。
否则，n = 5k+2 或 5k+3，其中 k 为整数。
当 n = 5k+2 时，
n^2 + 1 = (5k+2)^2 + 1 ≡ 2^2 + 1 ≡ 5 (mod 5)
所以，n^2 + 1 可被 5 整除。
当 n = 5k+3 时，
n^2 + 1 = (5k+3)^2 + 1 ≡ 3^2 + 1 ≡ 10 (mod 5)
所以，n^2 + 1 可被 5 整除。

证完了。

n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n+1)(n-1)必为偶数 若n,n+1,n-1中有5的倍数，则10能整除原式 若没有，则n的末位数字只能为2，3，7，8 （因为取末位是其它的数字时三数中必有一个末位数是5或0） 此时，n^2+1的末位数是5或0 即n，n^2+1，n+1，n-1中必有2的倍数，也必有5的倍数 所以n^5-n能被10整除

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息