求解析加悬赏！线性代数：为什么要先求与阿尔法1正交的特征向量呢？还有阿尔法2和阿尔法3是随便取的嘛

求解析加悬赏！线性代数：为什么要先求与阿尔法1正交的特征向量呢？还有阿尔法2和阿尔法3是随便取的嘛

这是因为可逆矩阵P是在A矩阵的特征向量为前提的条件下推导出来的，但是一定要保证这个矩阵为可逆的，即P的行列式不为零，则r(P)一定小于n,则k1P1+k2P2……knPn=0一定存在非零解，即P1，P2……Pn是线性无关的，也就是说只要取得特征向量线性无关，这个矩阵一定就是可逆矩阵了。
而线性相关另一种说法就是对应坐标成比例，某种意义上等价于高中的向量平行，也就是说对应坐标不成比例就一定线性无关，这种情况太多，让你很多时候无从下手，一定要记住对于实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量必定两两正交，所以a1与a2,a3均正交（它们的特征值不同），这就是线性无关中最特殊的一种情况（因为垂直（正交）自然就不会坐标成比例了），通过这一特殊情况的目的是方便你列出式子，因为向量正交，内积为零，这样就很方便找到其余两个向量应满足的关系，但是相同地特征值所对应的特征向量不一定两两正交，所以对于特征值为3的a2,a3的选取不是随便的，但不管怎么样只要是线性无关的就行，要满足这两个特征向量线性无关，自由未知量就必须取来线性无关，比如取x2=1,x3=0;x2=0,x3=1这样线性无关的两组自由未知量得出的两个特征向量就一定是线性无关的，最终得出的P就必定是可逆的，而且求解这个A矩阵根本没必要去求出P的逆矩阵，用初等列变换即可（我不给你写出来，你把三个特征向量写出来后可自行考虑），记得采纳。追问所以我可以理解为“特征值不同的两向量是线性无关的”所以阿尔法1和阿尔法2线性无关（即正交）。与此同时，特征值相同的两个向量是线性相关的，所以阿尔法2阿尔法3线性相关（即平行）。我可以这样理解吗？第二个问题是两向量共面怎么表示呢？算是线性无关的一种吗？望答疑解惑，我明白后加100悬赏！追答呵呵，首先我不缺财富值，目前所知的是这对于实对称矩阵才特有性质（特征值不同对应的特征向量是正交的，则必定是线性无关的），特征值相同的特征向量只能说不一定正交，其他的结论都没有。我都跟你说了不管正不正交至少要满足线性无关。所以选取自由未知量的时候就不能乱取（也就是不能取成比例的，否则就会造成线性相关）两向量平行就共面 这是定理 一组平行向量确定一个平面还要注意高数中的向量是有所不同的，与高中向量很大区别 之所以这样去说有助于你理解追问太感谢了

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息