设函数f(x)满足f(lnx) =ln(1+x)/x,求∫f(x)dx
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解决时间 2021-11-30 11:03
- 提问者网友：蔚蓝的太阳
- 2021-11-29 11:18
设函数f(x)满足f(lnx) =ln(1+x)/x,求∫f(x)dx
最佳答案
- 五星知识达人网友：山河有幸埋战骨
- 2021-11-29 12:23
令t = e^x，x = lnt，dx = (1/t)dt
∫ f(x) dx
= ∫ f(lnt) • (1/t)dt
= ∫ ln(1 + t)/t • (1/t)dt
= ∫ ln(1 + t) d(-1/t)
= (-1/t)ln(1 + t) + ∫ (1/t) • 1/(1 + t) dt
= (-1/t)ln(1 + t) + ∫ (1 + t - t)/[t(1 + t)] dt
= (-1/t)ln(1 + t) + ∫ [1/t - 1/(1 + t)] dt
= (-1/t)ln(1 + t) + ln|t| - ln|1 + t| + C
= (-1/e^x)ln(1 + e^x) + x - ln(1 + e^x) + C
= x - [1 + e^(-x)]•ln(1 + e^x) + C
∫ f(x) dx
= ∫ f(lnt) • (1/t)dt
= ∫ ln(1 + t)/t • (1/t)dt
= ∫ ln(1 + t) d(-1/t)
= (-1/t)ln(1 + t) + ∫ (1/t) • 1/(1 + t) dt
= (-1/t)ln(1 + t) + ∫ (1 + t - t)/[t(1 + t)] dt
= (-1/t)ln(1 + t) + ∫ [1/t - 1/(1 + t)] dt
= (-1/t)ln(1 + t) + ln|t| - ln|1 + t| + C
= (-1/e^x)ln(1 + e^x) + x - ln(1 + e^x) + C
= x - [1 + e^(-x)]•ln(1 + e^x) + C
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