拉姆塞定理如何用？最好有例题

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蝴蝶定理　　 Butterfly theorem 　　概况：　　蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 　　出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 　　这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 　　证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 　　∵△AMD∽△CMB　　∴AM/CM=AD/BC　　∵SD=1/2AD，BT=1/2BC 　　∴AM/CM=AS/CT　　又∵∠A=∠C 　　∴△AMS∽△CMT　　∴∠MSX=∠MTY　　∵∠OMX=∠OSX=90°　　∴∠OMX+∠OSX=180°　　∴O，S，X，M四点共圆　　同理，O，T，Y，M四点共圆　　∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX　　∴∠MOX=∠MOY ，　　∵OM⊥PQ　　∴XM=YM　　这个定理在椭圆中也成立，如图　　１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。　　（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；　　（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。　　求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)　　（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。　　求证： | OP | = | OQ |。　　（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）　　2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：　　（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。　　（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1　　焦点坐标为　　（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=kx代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，　　整理，得　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0　　根据韦达定理，得　　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，　　所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①　　将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得　　x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②　　由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 　　所以结论成立。　　（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。　　由C，P，H共线，得　　(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4　　解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)　　由D，Q，G共线，同理可得　　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：　　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)　　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)　　所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。　　3．简评　　本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。　　第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对

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