已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心（定点）．受此启发，研究下面问题：1过（1）中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB，问：弦AB是否经过一个定点？若经过，请求出定点坐标，否则说明理由；2研究：对于抛物线上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？

（1）证明：由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=-1的距离
根据抛物线的定义可知，M的轨迹是抛物线
所以抛物线方程为：y 2 =4x
（2）
（i）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），
l AB ：y=kx+b，（b≠0）由






y=kx+b
y 2 =4x 消去y得：k 2 x 2 +（2bk-4）kx+b 2 =0，x 1 x 2 =
b 2
k 2 ．
∵OA⊥OB，∴



OA ?



OB =0 ，∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，y 1 y 2 =
4b
k
所以x 1 x 2 +（x 1 x 2 ） 2 =0，b≠0，∴b=-2k，∴直线AB过定点M（1，0），
（ii）设p（x 0 ，y 0 ）设AB的方程为y=mx+n，代入y 2 =2x
得y 2 -2my=-2n=0
∴y 1 +y 2 =2m，y 1 y 2 -2n其中y 1 ，y 2 分别是A，B的纵坐标
∵AP⊥PB∴k max ?k min =-1
即
y 1 - y 0
x 1 - x 0 ?
y 2 - y 0
x 2 - x 0 =1
∴（y 1 +y 0 ）（y 2 +y 0 ）=-4
?y 1 y 2 +（y 1 +y 2 ）y 0 +y 0 2 -4=0
（-2n）+2my 0 +2x 0 +4=0，
=my 0 +x 0 +2
直线PQ的方程为x=my+my 0 +x 0 +2，
即x=m（y+y 0 ）+x 0 +2，它一定过点（x 0 +2，-y 0 ）

（1）设点m到直线m：x=4的距离为d， 根据题意，可得 |mf| d = 1 2 ， 即 (x-1) 2 + y 2 |x-4| = 1 2 ，化简得 x 2 4 + y 2 3 =1 ． ∴曲线c的方程是 x 2 4 + y 2 3 =1 ； （2）由（1）得曲线c是e（-1，0）、f（1、0）为焦点的双曲线，2a=4． 根据题意，可知|me|=|mn|， ∵|me|+|mf|=2a，∴|nf|=|mn|+|mf|=4 ∴点n的轨迹是以f（1，0）为圆心，4为半径的圆． 又∵直线pn的方程为：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0． ∴圆心f到直线pn的距离d小于等于半径，可得 |k+8-k| k 2 +1 ≤4 ， 解之得 k≤- 3 或 k≥ 3 ，可得斜率k的取值范围是（-∞，- 3 ]∪[ 3 ，+∞）．

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