解抽象函数的不等式

答案:4 悬赏:30 手机版

解决时间 2021-01-27 22:25

提问者网友：鼻尖触碰
2021-01-27 19:10

已知函数f(x)是定义在(0,+&)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y) (1)求f(1)的值 (2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)+f(1/x)小于等于2

最佳答案

五星知识达人网友：空山清雨
2021-01-27 20:26

1)在 f(x/y)=f(x)-f(y) 中
令 x=1，y=1,得 f(1)=f(1)-f(1)，所以 f(1)=0
(2) 在 f(x/y)=f(x)-f(y) 中
令 x=36，y=6,得 f(6)=f(36)-f(6)，所以 f(36)=2
所以不等式 f(x+3)+f(1/x)≤2 可化为
f(x+3)≤f(36)- f(1/x)
即 f(x+3)≤f(36x)
因为函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
所以 0<x+3≤36x
解得 x≥3/35

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1楼网友：舊物识亽
2021-01-27 21:48

(1)令y=1得f(1)=0 (2)f(x+3)+f(1/x)=f(x+3)+f(1)-f(x)=f[(x+3)/x]≤2 f(6)=f(36/6)=f(36)-f(6),f(36)=2*f(6)=2 由f(x)单调递增易得0＜(x+3)/x≤36,且x＞0 解得x∈[3/35,+∞)

2楼网友：我住北渡口
2021-01-27 21:25

[[1]] 由题设,可设x=y=1. 可得 f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0 ∴f(1)=0 [[2]] 由题设及f(6)=1可知 1=f(6)=f(36/6)=f(36)-f(6)=f(36)-1 ∴f(36)=2 ∴原不等式可化为 f(x+3)+f(1/x)≤f(36) f(x+3)≤f(36)-f(1/x)=f(36x) ∴0＜x+3≤36x ∴x≥3/35 解集为[3/35, +∞)

3楼网友：醉吻情书
2021-01-27 21:11

由定义知： -1<=x-1/2<=1 -----------------1 -1<=1/4-x<=1 -----------------2 由奇函数知f(x)=-x 所以f(x-1/2)<-f(1/4-x)=f(x-1/4) 即由增函数知x-1/2

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