已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3）且g（x）=f（x-1），则f（2007）+f（2008）=________．

已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3）且g（x）=f（x-1），则f（2007）+f（2008）=________．

-3解析分析：由题意：“g（x）=f（x-1）”以及f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，可得f（t+4）=f（t），可知f（x），是周期为4函数，则f（2007）+f（2008）=-g（0）+g（1），即可计算出结果．解答：∵f（x）为R上的偶函数，∴f（-x）=f（x） ∵g（x）为R上的奇函数，∴g（-x）=-g（x） ∵g（x）=f（x-1）?g（-x）=f（-x-1）?-g（x）=f（-x-1）?g（x）=-f（-x-1）∴f（x-1）=-f（-x-1）令-x-1=t，则：x=-t-1 ∴f（-t-2）=-f（t）…（1）再令-t-2=u，则-u=t+2 而偶函数f（x）满足f（u）=f（-u） 即，f（-t-2）=f（t+2）…（2）由（1）（2）得到：f（-t-2）=-f（t）=f（t+2）∴f（t+2）=-f（t）…（3）∴f[（t+2）+2]=-f（t+2）=-[-f（t）]=f（t） 即，f（t+4）=f（t） ∴偶函数f（x）也是以4为周期的周期函数?f（2007）=f（3+4×501）=f（3）f（2008）=f（0+4×502）=f（0）由（3）得到，f（3）=-f（1）∴f（2007）+f（2008）=f（3）+f（0）=-f（1）+f（0）而，g（x）=f（x-1）令x=0，那么：g（0）=f（0-1）=f（-1）=f（1）所以，-f（1）=0 令x=1，那么：g（1）=f（1-1）=f（0）所以，f（2007）+f（2008）=-g（0）+g（1）因为在R上的奇函数g（x）必定满足：g（-x）=-g（x） 即，g（x）+g（-x）=0 所以，g（0）+g（-0）=0 则，g（0）=0 已知g（x）过点（-1，3），即：g（-1）=3 所以：g（1）=-g（-1）=-3 综上：f（2007）+f（2008）=-3故

好好学习下

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