在三角形ABC中,底边BC固定

在三角形ABC中,底边BC固定，设BC=m,顶点A满足sinB-sinC=(4/5)sinA,求定点A的轨迹方程。

设AB=c,AC=b

sinB-sinC=(4/5)sinA

由正弦定理得

b/2R-c/2R=4/5*m/2R

b-c=4/5*m

由上式知到两顶点距离之差为一常数，所以点A轨迹为双曲线左支

以BC边所在直线为X轴，以BC中点为原点建立直角坐标系

实轴长=4/5*m

焦距=m

b^2=(m/2)^2-(2/5*m)^2=9/100*m^2

点A的轨迹方程为x^2/(2/5*m)^2-y^2/(9/100*m^2)=1

(x≤2/5*m)

设A(x,y),B(0,0),C(m,0),则

y/√(x^2+y^2)-y/√((x-m)^2+y^2)

=(4/5)sin(B+C)

=(4/5)(sinBcosC+cosBsinC)

=(4/5)(y/√(x^2+y^2) ·(m-x)/√((x-m)^2+y^2) +x/√(x^2+y^2) ·y/√((x-m)^2+y^2))

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