已知xi>0(i=1,2,3,4)x1+x2+x3+x4=1,求证x1log2x1+x2log……

已知xi>0(i=1,2,3,4)x1+x2+x3+x4=1,求证x1log2x1+x2log……

底数是2还是10？？
按2处理吧。
要证：log2x1^x1+log2x2^x2+log2x3^x3+log2x4^x4>=-2
即证：log2(x1^x1*x2^x2*x3^x3*x4^x4)>=-2
即证：x1^x1*x2^x2*x3^x3*x4^x4>=2^(-2)=1/4
已知xi>0(i=1,2,3,4)，x1+x2+x3+x4=1，不妨设x1，x2，x3，x4中x1最小（四个数中必定有最小的，或许是一个，或者两个，具体哪个，无所谓……）
因为x1+x2+x3+x4=1，所以其中最小的应该是<=0.25，即1/4。
x1^x1*x2^x2*x3^x3*x4^x4>=x1^x1*x1^x2*x1^x3*x1^x4=x1^(x1+x2+x3+x4)=x1 (把底数换小，幂肯定变小，乘积亦变小)
因x1有最大值1/4，所以x1^x1*x2^x2*x3^x3*x4^x4>=1/4
再一步步反推，即可证明结论……
希望对你有帮助

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