已知函数y=1/x３

题目：已知函数y=1/x３ （x３，表示x的三次方）

问：（1）：它的奇偶性。（2）：判断它在（0，+∞）上的单调性。

（3）：解不等式：1/(a+1)3〈1/(3-2a)3. (括号外的"3"均表示三次方）

会的速度呀！要详细过程。

设f(x)=1/x^3

函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)

(1)对任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=1/(-x)^3=-1/x^3=-f(x),由函数奇偶性定义,知道:函数是奇函数;

(2)对任意的x1、x2∈(0,+∞),设x1<x2

f(x1)-f(x2)=1/x1^3-1/x2^3=(x2^3-x1^3)/[(x1^3)(x2^3)]=(x2-x1)(x1^2+x2^2-x1x2)/[(x1^3)(x2^3)]

=(x2-x1)[(x1-x2)^2+x1x2]/[(x1^3)(x2^3)]

∵x1>0,x2>0

∴x1^3>0,x2^3>0,x1x2>0

(x1-x2)^+x1x2>0

x2-x1>0

则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

由函数单调性定义，知道：函数在（0，+∞）上单调递减

函数是奇函数，那么函数在(-∞,0)上单调递减

----证明如下：

对任意的x1<x2<0,那么-x1>-x2>0

函数在（0，+∞）上单调递减，得到：f(-x1)<f(-x2)

函数是奇函数，-f(x1)<-f(x2)

推导出f(x1)>f(x2),由函数奇偶性定义，知道函数在(-∞,0)上单调递减

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x>0那么x^3>0，x<0那么x^3<0

即在(-∞,0)上,f(x)<0,在（0，+∞）上，f(x)>0

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(3)不等式：1/(a+1)^3<1/(3-2a)^3有意义，a+1≠0且3-2a≠0

即a≠-1且a≠3/2

即不等式可看作：f(a+1)<f(3-2a)......(S)

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解方程a+1=3-2a得：a=2/3

a<2/3,a+1<3-2a

a>2/3,a+1>3-2a

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（A）当a<-1时，a+1<0,3-2a>0

f(a+1)<0,f(3-2a)>0，此时，不等式（S）恒成立

即a<-1使不等式（S）成立；

（B）当-1<a<2/3时，a+1>0,3-2a>0

a+1<3-2a

函数在（0，+∞）上的单调递减，不等式（S）不成立

（C）当2/3<a<3/2时，a+1>0,3-2a>0

a+1>3-2a

函数在（0，+∞）上的单调递减

f(a+1)<f(3-23),不等式（S）恒成立

即2/3<a<3/2使不等式（S）成立

（D）当a>3/2时，a+1>0,3-2a<0

f(a+1)>0,f(3-2a)<0

不等式(S)不成立

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所以，不等式1/(a+1)^3<1/(3-2a)^3的解是a<-1或2/3<a<3/2

（1）：f(-x)=1/(-x)^3=-1/x３ 奇函数

（2） y'=-3x^(-4) 当x>0,y'<0 y=1/x３在（0，+∞）上的单调递减

（3） 1/(a+1)3〈1/(3-2a)3.

(a+1)^3>(3-2a)^3 a+1>3-2a 3a>2 a>2/3

1.

1/x^3=-(1/-x^3)

即f(x)=-f(x)

为奇函数

2.

y=1/x^3

y'=-3/x^4=0

x^4恒大于等于0

得y'<=0

所以在实数范围递减

3.

(a+1)^3-(3-2a)^3

=a^3+3a^2+3a+1-27+54a-36a^2+8a^3

=9a^3-33a^2+57a-26=y

y'=27a^2-66a+57=0

D=66^2-4*27*57<0

且二次方系数大于0

所以恒大于0

即(a+1)^3>(3-2a)^3

所以

1/(a+1)^3<1/(3-2a)^3

已知函数y=1/x３ （x３，表示x的三次方）

（1）：f(-x)=1/(-x)^3=-1/x３ 奇函数

（2） y'=-3x^(-4) 当x>0,y'<0 y=1/x３在（0，+∞）上的单调递减

（3） 1/(a+1)3〈1/(3-2a)3.

(a+1)^3>(3-2a)^3 a+1>3-2a 3a>2 a>2/3

（1）f(-x)=1/(-x)^3=-1/x^3=-f(x),故为奇函数

（2）增函数，

设x1,x2属于（0，+∞），且x1<x2

f(x1)>0,f(x2)>0

f(x1)/f(x2)=x2^3/x1^3=(x2/x1)^3<1

即：f(x1)<f(x2)

故为增函数

（3）因为f(x)在R上为单调增函数，（自己根据第二问证）

所以1/(a+1)^3〈1/(3-2a)^3

可以化简为：a+1<3-2a,且a≠-1，a≠3/2

解得：a<2/3且a≠-1

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