如何证明√10为无理数？

如何证明√10为无理数？

有理数可以写成两个互质整数的比值(即最简分数)
设√10=p/q,p,q互质
有10=p²/q²,p²=10q²
∵10是偶数,一个数乘以偶数还是偶数,∴p²是偶数,即p是偶数
设p=2k,k是正整数,那麼有10q²=(2k)²=4k²
5q²=2k²,∵2k²是偶数,∴5q²是偶数,即q是偶数
那麼pq都是偶数,有公因数2,这和pq互质相矛盾
因此√10不能写成两个互质整数的比值,即√10是无理数.

还有一种证法,这种证法对於证明一个非完全平方数的平方根为无理数是几乎通用的
如果√10是有理数,那麼取最小的一个正整数m,使得m√10是一个整数
因为两个整数差仍是整数,设n=m√10-3m=m(√10-3),n是整数
而3<√10<4,所以n<m且n是正整数
而n√10=√10*m(√10-3)=m(10-3√10)=10m-3m√10
10m是整数,3m√10是整数,所以n√10也是整数
但我们已经取了最小的正整数m使得m√10为整数了,n√10是整数的话,说明m<n
这与上面证明的n<m矛盾
所以,√10不是有理数.
要点是找出√a在哪两个相邻正整数k,k+1之间,假设m√a为整数之後,用m√a-km就可以得到n<m的结论.

证明：假设 x =√6 +√10 是有理数, 则 √10 =x -√6, 所以 10 =x^2 -2√6 x +6. 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x). 又因为 x 是有理数, 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x) 是有理数. 与 √6 是无理数 矛盾. 所以 假设不成立, 即 √6 +√10 是无理数. = = = = = = = = = 以上用到一个结论： 若 n是正整数，且不是完全平方数，则 √n 是无理数。 这道题可推广为： 若 a,b 是正有理数，且√a,√b是无理数，则√a +√b 是无理数. 但是，无理数 +无理数 不一定是 无理数。 如：√2 +(2-√2) =2, π +(3-π) =3. ... ... 是否可以解决您的问题？

 例子：证明根号2是无理数： 证明：若根号2是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质） 所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2 所以 m^2/n^2=2 所以 m^2=2*n^2 所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数） 所以 m^2=4k^2=2n^2 所以 n^2=2k^2 所以 n是偶数 因为 m、n互质 所以 矛盾 所以 根号2不是有理数，它是无理数

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