在等差数列{a}中前n项和为Sn，若Sm=Sp(m不等于p)则Sm+n=0如何证明

在等差数列{a}中前n项和为Sn，若Sm=Sp(m不等于p)则Sm+n=0如何证明

证：
设公差为d
Sm=Sp
ma1+m(m-1)d/2=pa1+p(p-1)d/2
(m-p)a1+[m(m-1)-p(p-1)]d/2=0
(m-p)a1+[(m²-p²)-(m-p)]d/2=0
(m-p)a1+[(m+p)(m-p)-(m-p)]d/2=0
(m-p)a1+(m-p)(m+p-1)d/2=0
m≠p，等式两边同乘以(m+p)/(m-p)
(m+p)a1+(m+p)(m+p-1)d/2=0
S(m+p)=(m+p)a1+(m+p)(m+p-1)d/2=0

证明：
应该是n吧，后面没有p
不妨设 m>n
则 Sm=Sn
∴ Sm-Sn=0
即 a(n+1)+a(n+2)+.........+a(m)=0
即 [a(n+1)+a(m)]*(m-n)=0
∴ a(n+1)+a(m)=0
∵ a(n+1)+a(m)=a(1)+a(m+n)
∴ a1+a(m+n)=0
∴ S(m+n)
=[a1+a(m+n)]*(m+n)/2
=0
得证。

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