在△ABC中，已知|AB|=4,|AC|=2,AD=1/3AB向量+2/3AC向量。证明B，C，D三点共线若|AD|=√6，求|BC|的值

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解决时间 2021-03-03 07:17

提问者网友：放下
2021-03-02 12:17

请用向量来解题！
很急很急！

最佳答案

五星知识达人网友：动情书生
2021-03-02 12:34

（1）证明：∵向量CB=向量AB-向量AC
向量CD=向量AD-向量AC=1/3向量AB+2/3向量AC-向量AC
=1/3向量AB-1/3向量AC=1/3（向量AB-向量AC）=1/3向量CB
∴向量CD//向量CB，故B、C、D三点共线。
（2）解：当|AD|=√6时，以下计算省去“向量”二字：
∵BC=BA+AC,|AC|=2,|AB|=4,∴BC^2=BA^2+2BA*AC+AC^2=16+2BA*AC+4=20+2BA*AC
又∵AD=AB/3+2AC/3
∴AD^2=AB^2/9+4AB*AC/9+4AC^2/9=16/9+4AB*AC/9+16/9,
解得AB*AC==6,则BA*AC=-6
∴BC^2=20+2*(-6)=8
即|BC|=2√2

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1楼网友：慢性怪人
2021-03-02 13:40

BD＝AD-AB=(1/3)AB+(2/3) AC -AB=(2/3)AC-(2/3)AB= (2/3)(AC-AB) BC=AC-AB (2/3)BC=BD 所以BC//BC 又B是公共点，所以BCD共线 |(1/3)AB|=4/3 |(2/3)AC|=4/3 AD是以4/3为边长的菱形的角分线。 cos(A/2)=3√6/8 cosA=2cos(A/2)^2-1=11/16 BC^2=AB^2+AC^2-2AB*ACcosA BC^2=16+4-2*4*2*11/16=9 BC=3

2楼网友：玩世
2021-03-02 12:44

（1）证明：∵向量cb=向量ab-向量ac 向量cd=向量ad-向量ac=1/3向量ab+2/3向量ac-向量ac =1/3向量ab-1/3向量ac=1/3（向量ab-向量ac）=1/3向量cb ∴向量cd//向量cb，故b、c、d三点共线。（2）解：当|ad|=√6时，以下计算省去“向量”二字： ∵bc=ba+ac,|ac|=2,|ab|=4,∴bc^2=ba^2+2ba*ac+ac^2=16+2ba*ac+4=20+2ba*ac 又∵ad=ab/3+2ac/3 ∴ad^2=ab^2/9+4ab*ac/9+4ac^2/9=16/9+4ab*ac/9+16/9, 解得ab*ac==6,则ba*ac=-6 ∴bc^2=20+2*(-6)=8 即|bc|=2√2

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