以△ABC的三条边为边，向BC的同一侧做等边△ABP，等边△ACQ等边△BCR，试说明：四边形PAQR为平行四边形。

如图，以△ABC的三条边为边，向BC的同一侧做等边△ABP，等边△ACQ等边△BCR，试说明：四边形PAQR为平行四边形。

证明：

∵△ABP，△BCR都是等边三角形

∴BP=AB,BR=BC,∠ABP=∠RBC=60

∴∠ABP-∠ABR=∠RBC-∠ABR

∴∠PBR=∠ABC

∴△PBR≌△ABC(SAS)

∴PR=AC

∵△ACQ是等边三角形

∴AC=AQ

∴PR=AQ

同理可证：△RQC≌△BAC(SAS)

∴RQ=BA

∵BA=AP

∴RQ=AP

∴四边形PAQR是平行四边形[两组对边分别相等的四边形是平行四边形]

先证明△ABC与△BPR与△ＲＣＱ全等(SAS),得到PR＝AC＝》PR＝AQ；ＢＰ＝ＲＱ＝》ＡＰ＝ＲＱ

（ＡＰ＝ＲＱ　PR＝AQ）＝》　四边形PAQR为平行四边形

因为BC=RC AC=QC

角ACB=角RCB+角ACR 角RCQ=角ACQ+角ACR 角RCB=角ACQ=60 所以角ACB=角RCQ

所以三角形ACB全等于三角形QCR 又所以 AB=RQ 因为AB=AP 所以RQ=AP

同理得三角形RBP全等于三角形CBA 得PR=AQ 所以四边形为平行四边形

∠ABP=∠RBC=60

∠ABR=∠ABR

所以∠RBP=∠ABC

BP=AB BR=BC

所以△ABC全等于△BPR, PR=AC=AQ

同理

∠ACQ=∠RCB=60

∠ACR=∠ACR

所以∠RCQ=∠ACB

AC=CQ RC=BC

所以△ABC全等于△RCQ RQ=AB=AP

有了RQ=AP PR=AQ 故为APRQ平行四边形

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