复数方程cosz＝8

复数方程cosz＝8

答案：z = 2kπ + i*ln(8+3√7) ......... (k 是整数)

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解析：

令 z = x+iy ...... (x,y 都是实数)

cos(z)
= cos(x+iy)
= cos(x)cos(iy) - sin(x)sin(iy)
= cos(x)cosh(y) - i*sin(x)sinh(y)
= 8
.
首先虚部为 0，因此 sin(x) = 0 或 sinh(y) = 0，即:
x = kπ ....... (k是整数)
或 y = 0
.
但是 y 不能为 0；因为如果 y=0，则 cosh(y)=1，实部就变成
cos(x)cosh(y) = cos(x) = 8 (不在值域内)
.
所以，只能是 x = kπ，于是实部为
cos(x)cosh(y) = ±cosh(y) = 8
.
又因为 cosh(y) ≥ 1，因此 cos(x) 不能等于 -1，即:
x = 2kπ
.
此时，再算 y:
y = arccosh(8) = ln(8+3√7)
.
所以 cos(z) = 8 的解为:
z = 2kπ + i*ln(8+3√7) ......... (k 是整数)

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