如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E

【例3】(2004·广东)如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E。
（1）求证PE=BO；
（2）设AC＝2a，AO=x,四边形
PBDE的面积为y，求y与x之间的
函数关系式，并写出自变量x的
取值范围。

自己做的

∵三角形ＡＢＣ是等腰直角三角形，ｏ是斜边的中点

∴角Ｃ＝４５°，ＯＢ＝ＯＣ。角ＯＢＣ＝４５°，ＯＢ垂直ＡＣ

∵ＰＢ＝ＰＤ

∴角ＰＢＤ＝角ＰＤＢ

即角ＰＢＯ＋角ＯＢＣ＝角ＣＰＤ＋角Ｃ　　角ＰＢＯ＋４５＝角ＣＰＤ＋４５

∴角ＰＢＯ＝角ＤＰＥ

∴三角形ＢＯＰ与ＰＥＤ全等　（同为直角三角形，ＰＢ＝ＰＤ，角PBO=ＤＰＥ)

∴OP=ED

∵DE垂直ＡＣ

∴三角形ＣＤＥ是等腰直角三角形

∴ＤＥ＝ＥＣ

∴ＰＥ＝ＯＰ＋ＯＥ＝ＥＣ＋ＯＥ＝ＯＣ＝ＯＢ

检举 回答人的补充   2009-11-05 23:48

(2)应是ＡＰ＝ｘ，则Sabp=AB*AP*sin45/2=2a/cos45*x*sin45/2=ax

EC=AC-AP-PE=AC-AP-OB=a-AP=a-x

Scde=EC*EC/2=[(a-x)^2]/2

y= Spbde=Sabc-Sabp-Scde=(2a/sin45)^2/2-ax-[(a-x)^2/2]

=4a^2-ax-(a^2-2ax+x^2)/2

=7a^2/2-x^2/2

x取值范围为(0,sqrt(7)a)

∵三角形ＡＢＣ是等腰直角三角形，ｏ是斜边的中点

∴角Ｃ＝４５°，ＯＢ＝ＯＣ。角ＯＢＣ＝４５°，ＯＢ垂直ＡＣ

∵ＰＢ＝ＰＤ

∴角ＰＢＤ＝角ＰＤＢ

即角ＰＢＯ＋角ＯＢＣ＝角ＣＰＤ＋角Ｃ　　角ＰＢＯ＋４５＝角ＣＰＤ＋４５

∴角ＰＢＯ＝角ＤＰＥ

∴三角形ＢＯＰ与ＰＥＤ全等　（同为直角三角形，ＰＢ＝ＰＤ，角PBO=ＤＰＥ)

∴OP=ED

∵DE垂直ＡＣ

∴三角形ＣＤＥ是等腰直角三角形

∴ＤＥ＝ＥＣ

∴ＰＥ＝ＯＰ＋ＯＥ＝ＥＣ＋ＯＥ＝ＯＣ＝ＯＢ

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